صيغة دي موافر

من موسوعة العلوم العربية
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

صيغة موفير أو موافر moivre تطبق على الكتابة المثلثية للأعداد العقدية وصيغتها:

, أو .

الإثبات باستخدام الاستقراء الرياضي

يمكن دراسة ثلاث حالات للصيغة بحيث تحقق الحل.

من أجل n > 0, يمكن الاستعانة ب الاستنتاج الاستقرائي. عند n = 1, تتحقق صحة الحل بشكل بديهي من صيغة أويلر. يفترض أن يظل الحل صحيحا لأي عدد طبيعي، k. أي

وبدراسة الحالة n = k + 1:

العلاقة (1) تم استنباطها من فرضية الاستقراء بينما العلاقة (2) من المتطابقات المثلثية. وبالتالي فإن الصيغة صحيحة عند n = k + 1 إذا كانت n = k صحيحة. ويمكن تعميم الصيغة لكل عدد صحيح موجب, n≥1.

اذا كانت n = 0 تظل الصيغة صحيحة, ومن المعروف أن .

إذا كانت n < 0, يمكن تعديل الإختيار على m بحيث يصبح n = −m. وبالتالي

أي أن العلاقة صحيحة في جميع الأحوال لكل قيم n الصحيحة.