تشعب (رياضيات)

من موسوعة العلوم العربية
اذهب إلى: تصفح، ابحث

Saddlenode.gif التشعب في الرياضيات أو ما يسمى بالبايفوركايشن bifurcation هي التغير النوعي في سلوك نظام ديناميكي ما نتيجة تغيير أحد معاملاته parameter. مثال فزيائي على هذا السلوك هو مثلا عندما تضغط على قطعة خشبية في منتصفها وتعتبر القوة التي تضغط بها هي المعامل فترى أن الخشبة تتقوس وتغير شكلها إلى أن تصل القوة إلى قيمة معينة تسمى قيمة التشعب bifurcation value يتغير عندها سلوك الخشبة فتكسر. وتسمى النقطة التي يظهر فيها هذا السلوك أي في مثالنا نقطة تكسر الخشبة تسمى نقطة التشعب bifurcation point. ويتم عادة رسم هذا السلوك في مخطط يسمى مخطط التشعب bifurcation diagramm. أما طريقة حساب مكان ظهور هذا التغير في السلوك فهي مبينة أسفله. وتوجد العديد من الأنواع من التشعب أهمها:

  • تفرع عقدة سرج saddel node
  • تفرع حرج متعدي transcritical
  • تفرع فرشاتي pitchfork
  • تفرع هوبف Hopf bifurcation

إذا اعتبنار المعادلة التفاضلية التالية:
خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): \dot{x}=f(x,\mu)


فإن النقطة التي يحدث فيها تغير نوعي في سلوك هذا النظام الديناميكي أو ما يعبر عنه رياضيا بمصطلح نقطة التشعب هي أولا نقطة توازن equilibrium point وثانيا نقطة يصير فيها تخطيط النظام أي مصفوفة جاكوبي التابعة له صفرا (في حالة تشعب في ال خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): R^{1} ) أو تحتوي على قيمة ذاتية ذات جزئ حقيقي يساوي صفرا(في حالة تشعب في الخطأ رياضيات (خطأ غير معروف): R^{2} ). أي رياضياتيا:
خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): f(x)=0


و
خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): \frac{\partial f}{\partial x}=0


إذا لم يمكن إيجاد مثل هذه النقطة أو النقاط فإن النظام لا يحتوي على تشعب.

ملف:تشعب.JPG
مخطط التشعب هو رسم لنقاط التوازن أو الاستقرار التي يحتلها النظام حسب قيمة المعامل

تشعب في ال خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): R^{1}

يمكن اعتبار أنواع التشعبات التالية أهم التشعبات في ال خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): R^{1}

:
  • تشعب عقدة سرج saddel node bifurcation
  • تشعب حرج متعدي transcritical bifurcation
  • تشعب فرشاتي pitchforck bifurcation

تشعب عقدة سرج

يكون الشكل العام لمعادلة تشعب العقدة سرج كالآتي:

خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): \dot{x}=\mu - x^{2}+...+HOT



حيث Hot اختصار ل Higher Order Terms و عامة يمكن قول أن النظام

خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): \dot{x}=f(x,\mu)


حيث
خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): f(x_{0},\mu_{0})=0


و
خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): f_{x}|_{x_{0}}=0


يحتوي على تشعب عقدة سرج إذا توفرت الشروط التالية:
خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): f_{\mu}|_{x_{0}} \neq 0



خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): f_{xx}| \neq 0


تشعب حرج متعدي

يكون الشكل العام لمعادلة التشعب الحرج المتعدي كالآتي:

خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): \dot{x}=\mu x - x^{2}+...+HOT


و عامة يمكن قول أن النظام

خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): \dot{x}=f(x,\mu)


حيث
خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): f(x_{0},\mu_{0})=0


و
خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): f_{x}|_{x_{0}}=0


يحتوي على تشعب متعدي حرج إذا توفرت الشروط التالية:
خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): f_{\mu}|_{x_{0}}=0



خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): f_{xx}|_{x_{0}} \neq 0


خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): f_{x\mu}|_{x_{0}} \neq 0


تشعب فرشاتي

يكون الشكل العام لمعادلة تشعب العقدة سرج كالآتي:

خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): \dot{x}=\mu x -x^{3}+...+HOT

و عامة يمكن قول أن النظام

خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): \dot{x}=f(x,\mu)


حيث
خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): f(x_{0},\mu_{0})=0


و
خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): f_{x}|_{x_{0}}=0


يحتوي على تشعب فرشاتي إذا توفرت الشروط التالية:
خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): f_{\mu}|_{x_{0}}=0



خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): f_{xx}|_{x_{0}}=0


خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): f_{x\mu}|_{x_{0}} \neq 0


خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): f_{xxx}|_{x_{0}} \neq 0


تشعب في ال خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): R^{2} تشعب هوبفتشعب في ال خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): R^{2} تشعب هوبف

إذا اعتبرنا المعادلة التالية:

خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): \dot{x_{1}}=f_{1}(x_{1},x_{2},\mu)

خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): \dot{x_{2}}=f_{2}(x_{1},x_{2},\mu)


حيث

خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): f_{1}=f_{2}=0


و

f719fe401deab03c667f7804b4365385-

و إذا قمنا بحساب القيم التالية:

تشعب في ال خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): R^{n}

تعتبر دراسة التشعبات في ال خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): R^{n}

أصعب من الحالات المذكورة أعلاه إلا أنه إذا في بعض الحالات يمكن إرجاع نظام ما ينتمي إلى خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): R^{n}
إلى نظام ينتمي إلى ال خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): R^{1}
أو ال خطأ رياضيات (خطأ غير معروف): R^{2}
باستعمال نظرية متعدد الفروع الوسطي center manifold theory حيث يمكن اختزال النظام المعقد في نظام ذا أبعاد أصغر ومن ثم دراسة التشعب على متعدد الفروع الوسطي center manifold

. أي باختصار إرجاع هذه الحالة إلى الحالات المذكورة أعلاه

وصلات خارجية

http://monet.physik.unibas.ch/~elmer/pendulum/nldyn.htm