أثر (جبر خطي)

في الجبر الخطي، أثر مصفوفة مربعة A يعرف بأنه مجموع الحدود على القطر الرئيسي.

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} \,}

حيث a_ii تمثل المدخل على الصف i والعمود i للمصفوفة A. بالمثل فإن أثر المصفوفة هو مجموع قيمها الذاتية، صانعاً منها لامتباينا بالنسبة لتغير الأساسات.

أمثلة

ليكن Tعامل خطي ممثل بالمصفوفة

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{bmatrix}-2&2&-3\\ -1& 1& 3\\ 2 &0 &-1\end{bmatrix}.}

فإن tr(T) = −2 + 1 − 1 = −2.

يكون أثر مصفوفة الوحدة هو بعد الفضاء; وهذا يقود إلى تعميم البعد باستعمال الأثر. يكون أثر المسار (أي P² = P) هو ترتيب المسار. يكون أثر مصفوفة نيلبوتنت صفرا.

بشكل عام، إذا كانت f(x) = (x − λ₁)^d₁···(x − λ_k)^d_kهي مميز كثيرة الحدود للمصفوفة A, فإن

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{tr}(A) = d_1 \lambda_1 + \cdots + d_k \lambda_k.\!}