صيغة دي موافر

صيغة موفير أو موافر moivre تطبق على الكتابة المثلثية للأعداد العقدية وصيغتها:

$(\cos (x)+i\sin (x){)}^n=\cos (nx)+i\sin (nx)$, أو $(e^{ix}{)}^n=e^{inx}$.

الإثبات باستخدام الاستقراء الرياضي

يمكن دراسة ثلاث حالات للصيغة بحيث تحقق الحل.

من أجل n > 0, يمكن الاستعانة ب الاستنتاج الاستقرائي. عند n = 1, تتحقق صحة الحل بشكل بديهي من صيغة أويلر. يفترض أن يظل الحل صحيحا لأي عدد طبيعي، k. أي

${(\cos x+i\sin x)}^k=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).$

وبدراسة الحالة n = k + 1:

$\begin{array}{rl}{(\cos x+i\sin x)}^{k+1}& ={(\cos x+i\sin x)}^k(\cos x+i\sin x)\\ & =[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)](\cos x+i\sin x)& & \text{(1)}\\ & =\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x]\\ & =\cos \left[(k+1)x\right]+i\sin \left[(k+1)x\right]& & \text{(2)}\end{array}$

العلاقة (1) تم استنباطها من فرضية الاستقراء بينما العلاقة (2) من المتطابقات المثلثية. وبالتالي فإن الصيغة صحيحة عند n = k + 1 إذا كانت n = k صحيحة. ويمكن تعميم الصيغة لكل عدد صحيح موجب, n≥1.

اذا كانت n = 0 تظل الصيغة $\cos (0x)+i\sin (0x)=1+i0=1$ صحيحة, ومن المعروف أن $z^0=1$.

إذا كانت n < 0, يمكن تعديل الإختيار على m بحيث يصبح n = −m. وبالتالي

$\begin{array}{rl}{(\cos x+i\sin x)}^n& ={(\cos x+i\sin x)}^{-m}\\ & =\frac{1}{{(\cos x+i\sin x)}^m}\\ & =\frac{1}{(\cos mx+i\sin mx)}\\ & =\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\ & =\cos (-mx)+i\sin (-mx)\\ & =\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\end{array}$

أي أن العلاقة صحيحة في جميع الأحوال لكل قيم n الصحيحة.