نموذج ديباي

نموذج ديباي في الفيزياء و الكيمياء و الديناميكا الحرارية(بالإنجليزية: Debye model ) هو نموذج أعده العالم الفيزيائي بيتر ديباي عام 1912 لحساب جزء الحرارة النوعية الناشئة عن الفوتونات للمواد الصلبة. والنموذج مبني على فكرة حساب اهتزازات الذرات في الشبكة البلورية (والتي هي جزء من الحرارة الداخلية) ومعاملتها كفونونات في صندوق . هذا بعكس نموذج أينشتاين الذي يعتبر أن المادة الصلبة مكونة من ذرات منفردة لا تتآثر مع بعضها البعض ، وبالتالي لا تتأثر اهتزازاتها باهتزازات الذرات الأخرى. وينجح نموذج ديباي في حساب السعة الحرارية للمواد الصلبة زاعتمادها على درجة الحرارة عند درجات حرارة منخفضة جدا ، ووجدها تتغير تناسبيا مع T³ – وتسمى هذه العلاقة "بقانون T³ لديباي " Debye T³ law.

يسري قانون ديباي للحرارة النوعية أيضا في درجات الحرارة العالية ، وهو في ذلك يتمشى مع نموذج أينشتاين و قانون دولونج و بيتيه. ولكنه لا يعطي نتائجا دقيقة في درجات الحرارة المتوسطة بسبب بساطة النموذج .

اشتقاقه

يعتبر نموذج ديباي لحالة المواد الصلبة مناظرا لنموذج ماكس بلانك بشأن قانون إشعاع الجسم الأسود ، حيث تُعامل الأشعة الكهرومغناطيسية كما لو كانت غاز فوتونات في صندوق . ويتعامل نموذج ديباي مع اهتزازات الذرات في المادة الصلبة على أنها فونونات في صندوق (الصندوق هو المادة الصلبة). ونجد أن معظم الحسابات في الحالتين متشابهة .

وكانت الطريقة التي اتبعها ديباي لاشتقاق القانون طريقة التبسيط وسهلة . فهو يعتبر المادة الصلبة عبارة عن وسط مستمر ، وو جد أن عدد حالات الاهتزاز بترددات أقل من حد معين تصل إلى حد ثابت طبقا للعلاقة :

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle n \sim {1 \over 3} \nu^3 V F\,, }

حيث:

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle V } حجم المادة الصلبة (وتحتوي على عدد N من الذرات )،

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle F } هي معامل قام بحسابة بالاستعانة بمعامل المرونة و الكثافة.

ثم قام بربط تلك العلاقة بالطاقة الناتجة من هزاز توافقي عند درجة حرارة T بحيث تؤدي إلى طاقة U مقدارها:

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle U = \int_0^\infty \,{h\nu^3 V F\over e^{h\nu/kT}-1}\, d\nu\,,}

عندما تصل ترددات الاهتزازات إلى ترددات عالية جدا. تلك الصيغة تعطي الحرارة النوعية بدقة عند درجات الحرارة المنخفضة . ثم وجد ديباي أن تلك الطريقة سوف تؤدي إلى عدد من حالات الاهتزاز قدرها خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle 3N} لعدد N من الذرات . وافترض أن طيف الترددات في حالة المادة الصلبة سيتبع العلاقة السابقة حتى تصل إلى حد أعلى للتردد خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle \nu_m} بحيث يكون عدد الحالات الكلي خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle 3N} :

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle 3N = {1 \over 3} \nu_m^3 V F \,.}

وعرف ديباي أن هذا الافتراض لن يكون صحيحا (فالترددات العالية سوف تكون أكثر كثافة عما اخذه في الاعتبار ) ، ولكن عرف في نفس الوقت أن تلك المعادلة تكون صحيحة في درجات الحرارة العالية وتؤدي إلى قانون دولون-بتي . وبناءا على ذلك تبلغ الطاقة المحسوبة :

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle U = \int_0^{\nu_m} \,{h\nu^3 V F\over e^{h\nu/kT}-1}\, d\nu\,,}

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle = V F kT (kT/h)^3 \int_0^{T_D/T} \,{x^3 \over e^x-1}\, dx\,,}

حيث خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle T_D} هي خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle h\nu_m/k} .

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle = 9 N k T (T/T_D)^3 \int_0^{T_D/T} \,{x^3 \over e^x-1}\, dx\,,}

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle = 3 N k T D_3(T_D/T)^3\,,}

حيث خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle D_3} هي دالة سميت فيما بعد دالة ديباي من الدرجة الثالثة.

تبين المعادلة الأخيرة اعتماد الحرارة النوعية لمادة صلبة على درجة الحرارة بالقوة T³ عند درجات حرارة منخفضة جدا ، ونستخدمها في تعيين تغير الإنتروبي بدرجة الحرارة.

نتائج النموذج

درجة ديباي لبعض المواد الصلبة

	خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle \Theta_\mathrm{D}} كلفن
الرصاص	95
الصوديوم	160
الذهب	165
الفضة	215
النحاس	345
ألمونيوم	428
α-الحديد	464
الكروم	610
الماس	1850

درجات الحرارة

يعطي النموذج قيما دقيقة للسعة الحرارية وتغيرها بتغير درجة الحرارة ، وبصفة خاصة في درجات الحرارة المنخفضة جدا ودرجات الحرارة العالية جدا.

فعند درجات الحرارة المنخفضة ، مثلا عندما تكون خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle T \ll \Theta_\mathrm{D}}

( وتسمى خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle \Theta_\mathrm{D}} درجة ديباي )

• يُعطى جزء السعة الحرارية الذي يُعزى إلى الفونونات (الاهتزازات) بالعلاقة :

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle C_\mathrm{v} = {12 \pi^4 N k_\mathrm{B} \over 5} \cdot {T^3 \over \Theta_\mathrm{D}^3 },}

حيث:

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle \Theta_D = \frac{\hbar\omega_D}{k_B}}

درجة ديباي ، ويدخل فيها ثابتين :

ثابت بلانك المخفض خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle \hbar}

و ثابت بولتزمان خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle k_\mathrm{B}}

و خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle \omega_D } وهي خاصية اهتزازية تعتمد على نوع المادة .

وتتناسب درجة ديباي (درجة حرارة ديباي) تناسبا طرديا مع سرعة صوتية فعلية خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle \ c_{\rm eff} } ، تنشأ عن موجة صوتية عرضية بنسبة 2/3 و موجة صوتية طولية بنسبة 1/3 (داخل المادة الصلبة) ، طبقا للمعادلة:

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle \frac{1}{\Theta_\mathrm{D}^3}\propto\frac{1}{c_{\rm eff}^3} :=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{c_t^3}+\frac{1}{c_l^3}\right).}

• عند درجات الحرارة العالية ، عندما تكون خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle T\gg \Theta_D} ,

تنطبق معادلة الطاقة الداخلية التالية :

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle U=3 N k_\mathrm{B} T}

بالتالي ينطبق على السعة الحرارية :

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle C_\mathrm{v}=3Nk_\mathrm{B}\,}

وفي تلك الحدود لدرجة الحرارة العالية نرى أن معادلة ديباي تتطابق مع قانون دولون-بتي ، وكذلك مع نموذج أينشتاين.

• في حيز درجات الحرارة العالية وحيز درجات الحرارة المنخفضة تعطي معادلة ديباي القيمة الدقيقة للسعة الحرارية لمادة ، إلا أنها لا تعطي قيما دقيقة لها في درجات الحرارة المتوسطة ،أي أن معادلة ديباي تحتاج إلى اعتبار بعض المرثرات الأخرى . وانطباق معادلة ديباي عند درجات الحرارة المنخفضة يعود إلى الحد

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle \omega\ll\omega_D} لتقريب ديباي الذي ينطبق على خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle g(\omega )} ، كذلك يكون المعادلة صحيحة في حيز درجات الحرارة المرتفعة حيث تعطي معادلة ديباي لمجموع ترددات الاهتزازات :

خطأ رياضيات (SVG مع PNG احتياطي (يمكن تمكين MathML عبر المكوِّن الإضافي للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.orgv1/":): {\displaystyle \int_0^{\omega_{\rm max}} g(\omega )\,{\rm d}\omega \equiv 3N}

انظر أيضا

• قانون دولون-بتي
• نموذج أينشتاين
• الحرارة
• سعة حرارية
• سعرة
• حرارة كامنة
• قابلية انضغاط
• إنتروبي
• مبرهنة التوزع المتساوي