دالة زيتا

دالة زيتا (اِقْتِرانُ ريمان الزَّائِيُّ حسب مجمع اللغة العربية بالقاهرة) دالة خاصّة لها أهمية عظيمة في نظرية الأعداد. تعريفها المشهور الصالح لأجل $\mathrm{\Re }(s)>1$

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}.$

يمكن تعريفها بصيغ أخرى عدبدة نخص بالذكر منها جداء أويلر

$\frac{1}{\zeta (s)}=\prod _{p\text{ prime}}^{\mathrm{\infty }}(1-p^{-s}).$

صيغة الدالة للأعداد الزوجية

هذه الصيغة تنسب لأولير, وهي تعطي قيمة ζ(2k) للأعداد الزوجية:

$\zeta (2k)=\frac{(-1{)}^{k-1}{B}_{2k}(2\pi {)}^{2k}}{2(2k)!}$

حيث B_2k هي أعداد بيرنولي.

و هذه بعض القيم:

ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, ζ(8) = π⁸/9450

أما بالنسبة للأعداد الفردية, فلا توجد صيغة لحساب زيتا. فقط نعرف قيمة 3 التي هي: ζ(3) = 1,2020569،