نموذج أينشتاين

نموذج أينشتاين في الفيزياء و الكيمياء (بالإنجليزية: Einstein Model) افترضه البرت أينشتاين لوصف اهتزازات الذرات في المادة الصلبة وما تساهمه في السعة الحرارية . افترض اينشتاين أن اهتزازات الذرات في الشبكة البلورية تكون فونونات (صوتية) ذات طاقة محددة ، على نمط الفوتونات الضوئية . لم يؤدي هذا النموذج إلى وصف صحيح لتغير الحرارة النوعية للمواد الصلبة بتغير درجة الحرارة ، وإنما نجح في ذلك نموذج آخر و هو نموذج ديباي وهو يصف سلوك اهتزازات الذرات في المادة الصلبة بدقة.

أساس النموذج

تتكون المادة الصلبة في العادة من بلورات تتخذ فيها الذرات أماكن في الشبكة البلورية ، وافترض أينشتاين أن الاهتزازات التي تقوم بها الذرات تكون ذات طاقة كمومية معينة $\hslash {\omega }_E$ . تلك الطاقة الكمومية تسمى فونونات. وعلى هذا الأساس يمكن أن توصف المادة الصلبة بأنها تحتوي على عدد N من الهزازات التوافقية ، يهتز كل منها في ثلاثة اتجاهات x و y و z ولا تعتمد على بعضها البعض .

اعتبر أينشتاين أن احتمال اهتزاز ذرة $⟨n⟩$ بهذا التردد يعتمد على درجة الحرارة T ، وباعتبار الفونونات تتبع إحصاء بوز-أينشتاين فطبق عليهم المعادلة :

$⟨n⟩=\frac{1}{\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)-1}$

وحصل على الطاقة الداخلية U للمادة الصلبة :

$U=3N\cdot \hslash {\omega }_E\cdot (⟨n⟩+\frac{1}{2})=3N\cdot \hslash {\omega }_E\cdot [\frac{1}{\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)-1}+\frac{1}{2}]$

ويعطي الشق $\frac{\hslash {\omega }_E}{2}$ طاقة درجة الصفر المطلق . وعلى هذا الأساس يصبح نصيب مشاركة الفونونات في السعة الحرارية عند ثبات الحجم V:

$C_V={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{V=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}}=\frac{3N}{k_B{T}^2}\frac{(\hslash {\omega }_E{)}^2}{{[\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)-1]}^2}\cdot \exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)$

سمي الشق ${\mathrm{\Theta }}_E=\frac{\hslash {\omega }_E}{k_B}$ "درجة حرارة أينشتاين" ، وبالتعويض عنه في المعادلة نحصل على معادلة في صيغة أبسط :

$C_V^{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}\left(T\right)=3N{k}_B\cdot {\left(\frac{{\mathrm{\Theta }}_E}{T}\right)}^2\cdot \frac{\exp \left(\frac{{\mathrm{\Theta }}_E}{T}\right)}{{[\exp \left(\frac{{\mathrm{\Theta }}_E}{T}\right)-1]}^2}$

خطأ نموذج أينشتاين في درجات الحرارة المنخفضة

عند درجات الحرارة المنخفضة وكذلك في حيز درجات الحرارة العالية ، تعطي المعادلة :

$T\to \mathrm{\infty }:C_V\to 3N\cdot k_B;T\to 0:C_V\propto e^{-{\mathrm{\Theta }}_E/T}\to 0$

يعطي نموذج أينشتاين و نموذج ديباي قيما مطابقة لقانون قانون دولون-بتي في درجات الحررة العالية . أما ما تعطيه معادلة أينشتاين فلا يتفق بتاتا مع سلوك السعة الحرارية (C_V(T) للمادة الصلبة في درجات الحرارة المنخفضة . ويرجع ذلك إلى الافتراض الخاطيئ بأن جميع الذرات في المادة الصلبة تهتز بنفس التردد . واتضح أن اهتزاز الذرات في المادة يتم بطرق أكثر تعقيدا ، نجح نموذج ديباي في وصفها.

مراجع

• "Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme", A. Einstein, Annalen der Physik, volume 22, pp. 180–190, 1907.

انظر أيضا

• قانون دولون-بتي
• نموذج ديباي
• الحرارة
• سعة حرارية
• سعرة
• حرارة كامنة
• قابلية انضغاط
• إنتروبي