إدارة الموسوعة 1: مراجعة واحدة

2013-09-16T14:33:51Z

مراجعة واحدة

صفحة جديدة

'''نموذج ديباي ''' في [[الفيزياء]] و [[الكيمياء]] و [[ديناميكا حرارية|الديناميكا الحرارية]](بالإنجليزية: Debye model ) هو نموذج أعده العالم الفيزيائي [[بيتر ديباي]] عام 1912 لحساب جزء [[حرارة نوعية|الحرارة النوعية]] الناشئة عن [[فونون|الفوتونات]] للمواد الصلبة.<ref>'Zur Theorie der spezifischen Waerme', ''Annalen der Physik (Leipzig)'' 39(4), p. 789 (1912)</ref>
والنموذج مبني على فكرة حساب [[اهتزازات]] الذرات في [[شبكة بلورية|الشبكة البلورية]] (والتي هي جزء من الحرارة الداخلية) ومعاملتها [[جسيم في صندوق|كفونونات في صندوق]] . هذا بعكس نموذج [[أينشتاين]] الذي يعتبر أن المادة الصلبة مكونة من ذرات منفردة لا تتآثر مع بعضها البعض ، وبالتالي لا تتأثر اهتزازاتها باهتزازات الذرات الأخرى.
وينجح نموذج ديباي في حساب السعة الحرارية للمواد الصلبة زاعتمادها على [[درجة الحرارة]] عند درجات حرارة منخفضة جدا ، ووجدها تتغير تناسبيا مع T3 – وتسمى هذه العلاقة "بقانون T3 لديباي " '''Debye T3 law'''.

يسري قانون ديباي للحرارة النوعية أيضا في درجات الحرارة العالية ، وهو في ذلك يتمشى مع [[نموذج أينشتاين]] و قانون دولونج و بيتيه. ولكنه لا يعطي نتائجا دقيقة في درجات الحرارة المتوسطة بسبب بساطة النموذج .

== اشتقاقه ==

يعتبر نموذج ديباي لحالة المواد الصلبة مناظرا لنموذج [[ماكس بلانك]] بشأن [[جسم أسود|قانون إشعاع الجسم الأسود]] ، حيث تُعامل [[أشعة كهرومغناطيسية|الأشعة الكهرومغناطيسية]] كما لو كانت غاز فوتونات في صندوق . ويتعامل نموذج ديباي مع اهتزازات الذرات في المادة الصلبة على أنها [[فونون|فونونات]] في صندوق (الصندوق هو المادة الصلبة). ونجد أن معظم الحسابات في الحالتين متشابهة .

وكانت الطريقة التي اتبعها ديباي لاشتقاق القانون طريقة التبسيط وسهلة . فهو يعتبر المادة الصلبة عبارة عن وسط مستمر ، وو جد أن عدد حالات الاهتزاز بترددات أقل من حد معين تصل إلى حد ثابت طبقا للعلاقة :

:<math> n \sim {1 \over 3} \nu^3 V F\,, </math>

حيث:
: <math> V </math> حجم المادة الصلبة (وتحتوي على عدد N من الذرات )،

: <math> F </math> هي معامل قام بحسابة بالاستعانة [[مرونة|بمعامل المرونة]] و [[الكثافة]].

ثم قام بربط تلك العلاقة بالطاقة الناتجة من [[هزاز توافقي]] عند درجة حرارة T بحيث تؤدي إلى طاقة U مقدارها:

:<math>U = \int_0^\infty \,{h\nu^3 V F\over e^{h\nu/kT}-1}\, d\nu\,,</math>

عندما تصل ترددات الاهتزازات إلى ترددات عالية جدا. تلك الصيغة تعطي الحرارة النوعية بدقة عند درجات الحرارة المنخفضة . ثم وجد ديباي أن تلك الطريقة سوف تؤدي إلى عدد من حالات الاهتزاز قدرها
<math>3N</math> لعدد N من الذرات . وافترض أن طيف الترددات في حالة المادة الصلبة سيتبع العلاقة السابقة حتى تصل إلى حد أعلى للتردد <math>\nu_m</math> بحيث يكون عدد الحالات الكلي <math>3N</math>:

:<math> 3N = {1 \over 3} \nu_m^3 V F \,.</math>

وعرف ديباي أن هذا الافتراض لن يكون صحيحا (فالترددات العالية سوف تكون أكثر كثافة عما اخذه في الاعتبار ) ، ولكن عرف في نفس الوقت أن تلك المعادلة تكون صحيحة في درجات الحرارة العالية وتؤدي إلى [[قانون دولون-بتي]] . وبناءا على ذلك تبلغ الطاقة المحسوبة :

:<math>U = \int_0^{\nu_m} \,{h\nu^3 V F\over e^{h\nu/kT}-1}\, d\nu\,,</math>

::<math> = V F kT (kT/h)^3 \int_0^{T_D/T} \,{x^3 \over e^x-1}\, dx\,,</math>

::حيث <math>T_D</math> هي <math>h\nu_m/k</math>.

::<math> = 9 N k T (T/T_D)^3 \int_0^{T_D/T} \,{x^3 \over e^x-1}\, dx\,,</math>

::<math> = 3 N k T D_3(T_D/T)^3\,,</math>

حيث <math>D_3</math> هي دالة سميت فيما بعد [[دالة ديباي]] من الدرجة الثالثة.

تبين المعادلة الأخيرة اعتماد الحرارة النوعية لمادة صلبة على درجة الحرارة بالقوة T3 عند درجات حرارة منخفضة جدا ، ونستخدمها في تعيين تغير [[إنتروبيا|الإنتروبي]] بدرجة الحرارة.

== نتائج النموذج ==

{| class="prettytable float-right"
|+درجة ديباي لبعض المواد الصلبة
|- class="hintergrundfarbe6"
!
!align="right"|<math>\Theta_\mathrm{D}</math> كلفن
|-
||[[الرصاص]]
|align="right"| 95
|-
||[[الصوديوم]]
|align="right"| 160
|-
||[[الذهب]]
|align="right"| 165
|-
|| [[الفضة]]
|align="right"| 215
|-
||[[النحاس]]
|align="right"| 345
|-
|| [[ألمونيوم]]
|align="right"| 428
|-
||α-[[الحديد]]
|align="right"| 464
|-
|| الكروم
|align="right"| 610
|-
|| [[الماس]]
|align="right"| 1850
|}

=== درجات الحرارة ===

يعطي النموذج قيما دقيقة للسعة الحرارية وتغيرها بتغير درجة الحرارة ، وبصفة خاصة في درجات الحرارة المنخفضة جدا ودرجات الحرارة العالية جدا.

'''فعند درجات الحرارة المنخفضة ، مثلا عندما تكون <math>T \ll \Theta_\mathrm{D}</math> '''

( وتسمى <math>\Theta_\mathrm{D}</math > '''درجة ديباي ''' )

* يُعطى جزء السعة الحرارية الذي يُعزى إلى [[فونون|الفونونات]] (الاهتزازات) بالعلاقة :

:<math>C_\mathrm{v} = {12 \pi^4 N k_\mathrm{B} \over 5} \cdot {T^3 \over \Theta_\mathrm{D}^3 },</math>

حيث:
:<math>\Theta_D = \frac{\hbar\omega_D}{k_B}</math>

'''درجة ديباي''' ، ويدخل فيها ثابتين :

: [[ثابت بلانك|ثابت بلانك المخفض]] <math>\hbar</math>
: و [[ثابت بولتزمان]] '''<math>k_\mathrm{B}</math> '''
:و ''' <math> \omega_D </math> '''وهي خاصية اهتزازية تعتمد على نوع المادة .

وتتناسب '''درجة ديباي '''(درجة حرارة ديباي) تناسبا طرديا مع سرعة صوتية فعلية
<math> \ c_{\rm eff} </math> ، تنشأ عن موجة صوتية عرضية بنسبة 2/3 و موجة صوتية طولية بنسبة 1/3 (داخل المادة الصلبة) ، طبقا للمعادلة:

:<math>\frac{1}{\Theta_\mathrm{D}^3}\propto\frac{1}{c_{\rm eff}^3} :=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{c_t^3}+\frac{1}{c_l^3}\right).</math>

* '''عند درجات الحرارة العالية ، عندما تكون <math>T\gg \Theta_D</math>,'''

تنطبق معادلة [[طاقة داخلية|الطاقة الداخلية]] التالية :

: <math>U=3 N k_\mathrm{B} T</math>

بالتالي ينطبق على السعة الحرارية :

:<math>C_\mathrm{v}=3Nk_\mathrm{B}\,</math>

وفي تلك الحدود لدرجة الحرارة العالية نرى أن معادلة ديباي تتطابق مع [[قانون دولون-بتي]] ، وكذلك مع [[نموذج أينشتاين]].

* في حيز درجات الحرارة العالية وحيز درجات الحرارة المنخفضة تعطي معادلة ديباي القيمة الدقيقة للسعة الحرارية لمادة ، إلا أنها لا تعطي قيما دقيقة لها في درجات الحرارة المتوسطة ،أي أن معادلة ديباي تحتاج إلى اعتبار بعض المرثرات الأخرى . وانطباق معادلة ديباي عند درجات الحرارة المنخفضة يعود إلى الحد
<math>\omega\ll\omega_D</math> لتقريب ديباي الذي ينطبق على
<math>g(\omega )</math> ، كذلك يكون المعادلة صحيحة في حيز درجات الحرارة المرتفعة حيث تعطي معادلة ديباي لمجموع ترددات الاهتزازات :

:<math>\int_0^{\omega_{\rm max}} g(\omega )\,{\rm d}\omega \equiv 3N</math>

== انظر أيضا ==
* [[قانون دولون-بتي]]
* [[نموذج أينشتاين]]
* [[حرارة|الحرارة]]
* [[سعة حرارية]]
* [[سعرة]]
* [[حرارة كامنة]]
* [[قابلية انضغاط]]
* [[إنتروبي]]
* [[مبرهنة التوزع المتساوي]]

{{بوابة|فيزياء}}

== المراجع ==
{{ثبت_المراجع}}

{{بوابة فيزياء}}

[[تصنيف:فيزياء المواد المكثفة]]
[[تصنيف:كيمياء]]
[[تصنيف:ديناميكا حرارية]]
[[تصنيف:خواص دينامية حرارية]]
[[تصنيف:كميات فيزيائية]]
[[تصنيف:حرارة]]
[[تصنيف:مفاهيم فيزيائية]]

نموذج ديباي - تاريخ المراجعة

إدارة الموسوعة 1: مراجعة واحدة