WikiSysop: ١ مراجعة: فيزياء

2010-11-12T22:01:00Z

١ مراجعة: فيزياء

صفحة جديدة

{{النسبية العامة|موضوع س=معادلات}}
'''معادلات آينشتين للمجال''' ('''EFE''') أو '''معادلات آنشتين''' هي مجموعة عشر معادلات في نظرية [[البرت آينشتين]] [[النسبية العامة|للنسبية العامة]] والتي تصف [[تآثر أساسي|التآثر الأساسي]] في [[الثقالة]] جراء [[تقوس]] [[الزمكان]] مع كل من [[المادة]] و[[الطاقة]].<ref name = ein>{{cite journal| last = Einstein| first = Albert| authorlink = | title = مبدأ نظرية النسبية العامة -The Foundation of the General Theory of Relativity| journal = [[Annalen der Physik]]| volume = | issue = | pages = | date = 1916| publisher = | url = http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html| format = [[PDF]] | id = | accessdate = }}</ref> نشرت بداية بواسطة آينشتين في 1915<ref name=Ein1915>{{cite journal|last=Einstein| first=Albert| authorlink = Albert Einstein| date=نوفمبر 25, 1915| title=Die Feldgleichungen der Gravitation| journal=Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin| pages=844–847 | url=http://nausikaa2.mpiwg-berlin.mpg.de/cgi-bin/toc/toc.x.cgi?dir=6E3MAXK4&step=thumb | accessdate=2006-09-12}}</ref> على أنها [[معادلة موتر]]، تعادل EFE [[انحناء]] الزمكان (يعبر عنها ب [[موتر آينشتين]]) مع الطاقة و[[كمية التحرك]] ضمن ذلك الزمكان (المعبر عنها ب[[موتر الإجهاد-الطاقة]]).

وبشكل مشابه لكيفية إيجاد [[مجال كهرومغناطيسي|المجالات الكهرومغنطسيسية]] باستعمال [[شحنة|الشحنات]] [[تيار كهربائي|التيارات]] من خلال [[معادلات ماكسويل]], تستعمل EFE لإيجاد الهندسة الفضائية[[زمكان|للزمكان]] من وجود الكتلة-والطاقة وكمية التحرك الخطي، أي أنها تعطي [[الموتر المتري]] للزمكان بدلالة ترتيب من الإجهاد-والطاقة في الزمكان. تسمح العلاقة بين الموتر المتري وموتر آينشتين بكتابة معادلات آينشتين كمجموعة من معادلات تفاضلية لاخطية عند استخدامها بهذه الطريقة.حلول EFE تمثل مركبات الموتر المتري. المقذوفات العطالية للجسيمات و[[جيوديسيا]] الإشعاع في الهندسة التحليلية الناتجة تحسب بعد ذلك باستعمال [[المعادلة الجيوديسية]].

إضافة لامتثالها لقوانين بقاء كمية التحرك-والطاقة، تنخفض EFE إلى [[قانون الجذب العام لنيوتن]] حيثما يكون المجال الثقالي ضعيفاً والسرعات أقل بكثير من سرعة الضوء<ref name=Carroll>{{cite book|last=Carroll| first=Sean| authorlink = Sean M. Carroll| year=2004| title=Spacetime and Geometry - An Introduction to General Relativity| pages=151–159 | isbn=0-8053-8732-3}}</ref>.

تتضمن الحلول التقنية لمعادلات آينشتين للمجال تبسيط الفرضيات مثل [[تماثل الفضاء والزمان|التماثل]]. الفصول الخاصة بالحلول الدقيقة تدرس غالباً عندما تمثل بنماذج ذات ظواهر ثقالية عديدة، مثل الثقوب السوداء الدوارة والتوسع الكوني.

يمكن الحصول على تبسيطات أفضل بتقريب الزمكان الفعلي [[فضاء منكوسكي|كزمكان مسطح]] ذي انحراف صغير خالصين إلى [[ثقالة خطية|EFE خطي]]. تستعمل هذه المعادلات لدراسة ظواهر مثل [[الموجات الثقالية]].

==الصورة الرياضياتية==

يمكن كتابة معادلات آينشتين للمجال (EFE) على الصورة:<ref name="ein"/>
:<math>R_{\mu \nu} - {1 \over 2}g_{\mu \nu}\,R + g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}</math>

حيث <math>R_{\mu \nu}\,</math> تمثل [[انحناء ريكسي]], <math>R\,</math> [[انحناء قياسي]], <math>g_{\mu \nu}\,</math> [[metric موتر (النسبية العامة)|موتر متري]], <math>\Lambda\,</math> يمثل [[ثابت كوني]], <math>G\,</math> [[ثابت الجذب العام]], <math>c\,</math> هي [[سرعة الضوء]], و<math>T_{\mu \nu}\,</math> [[موتر انفعال-طاقة]].

EFE هي معادلة [[موتر]] تربط بين مجموعة من [[موتر تماثلي|موترات 4 x 4 تماثلية]]، تكتب باستعمال [[علامة معامل مجردة]]. لكل موتر توجد 10 مركبات مستقلة. بمعلومية حرية الاختيار لإحداثيات الزمكان الأربعة، تنخفض المعادلات المستقلة إلى 6 عددياً.

بالرغم من أن معادلات آينشتين للمجال تمت صياغتها في السياق بداية من نظرية رباعية الأبعاد، فقد قام بعض النظريين بتوسيع نتائجها إلى
''n'' من الأبعاد. المعادلات في السياق خارج النسبية العامة لا زال يشار إليها بمعادلات آينشتين للمجال. تقوم معادلات مجال الفراغ بتعريف [[تشعب آينشتين|تشعبات آينشتين]].

بالرغم من المنظر البسيط الذي تبدو عليه المعادلات، إلّا أنها معقدة في الواقع. إذا علم توزيع معين للمادة والطاقة على هيئة موتر إجهاد-طاقة فإن EFE تفهم على أنها معادلاتان للموتر المتري <math>g_{\mu \nu}</math>، لما كانت كلتيهما موتر ريكسي والانحناء القياسي معتمدة على على المتري بطريقة لا خطية معقدة، في الحقيقة، عند كتابتها كلياً، فإنEFE تمثل منظومة من 10 [[معادلات تفاضلية جزئية]]، مرتبطة لا خطية، مكافئة-بيضوية.

يمكن للمرء كتابة EFE بصورة أكثر إندماجية بتعريف [[موتر آينشتين]]
:<math>G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R g_{\mu \nu},</math>

وهو مؤثر تماثلي من الرتبة الثانية بشكل دالة في المتري. يمكن حينئذ كتابةEFE بالصورة
:<math>G_{\mu \nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu},</math>

حيث تم اختزال الحد الكوني إلى موتر إجهاد-طاقة في [[طاقة مظلمة]].

باستعمال [[وحدات هندسية]] حيث ''G'' = ''c'' = 1, يمكن إعادة كتابتها كما يلي
:<math>G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu}\,.</math>

التعبير الأيسر يمثل تقوس الفضاء والزمان ([[الزمكان]]) الذي يتم إيجاده من المتري بينما التعبير على الطرف الأيمن يمثل محتوى الطاقة\المادة من الزمكان. بالتالي يمكن تفسير EFE كمجموعة من المعادلات تملي علينا كيفية ارتباط تقوس الزمكان بمحتوى المادة\الطاقة في الكون.

هذه المعادلات مع [[جيوديسيا (النسبية العامة)|المعادلة الجيوديسية]], تشل نواة [[رياضيات النسبية العامة|التصييغ الرياضياتي]] في [[النسبية العامة]].

===اصطلاح الإشارة===
يمثل الشكل السابق من EFE المعيار الذي تما تأسيسه في [[ثقالة (كتاب)|كتاب مسنر, ثورن, وويلر]]. قام المؤلفون بتحليل جميع الاصطلاحات الموجودة وصنفوها وفقاً للأإشارات الثلاث التاليةS1, S2, S3:
:<math>g_{\mu \nu}~~=[S1] \times \operatorname{diag}(-1,+1,+1,+1) </math>
:<math>{R^\mu}_{a \beta \gamma}=[S2] \times (\Gamma^\mu_{a \gamma,\beta}-\Gamma^\mu_{a \beta,\gamma}+\Gamma^\mu_{\sigma \beta}\Gamma^\sigma_{\gamma a}-\Gamma^\mu_{\sigma \gamma}\Gamma^\sigma_{\beta a}) </math>
:<math>G_{\mu \nu}~~=[S3] \times {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu} </math>

الإشارة الثالثة أعلاه تتعلق باختيار الاصطلاح لموتر ريكسي:
:<math>R_{\mu \nu}=[S2]\times [S3] \times {R^a}_{\mu a \nu} </math>

حيث أن هذه التعريفات [[ثقالة (كتاب)|كتاب مسنر, ثورن, وويلر]] تصنف نفسها على أنها <math>(+++)\,</math>, حيث Weinberg (1972) هي <math>(+--)\,</math>, Peebles (1980) وEfstathiou (1990) هي <math>(-++)\,</math> بينما Peacock (1994), Rindler (1977), Atwater (1974), Collins Martin & Squires (1989) هي <math>(-+-)\,</math>.

استخدم المؤلفون بما فيهم آينشتين إشارة مختلفة في تعريفهم لموتر ريكسي والذي نتج عنه أن أصبحت إشارة الثابت على الطرف الأيمن سالبة
:<math>R_{\mu \nu} - {1 \over 2}g_{\mu \nu}\,R - g_{\mu \nu} \Lambda = -{8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}.</math>

إشارة الحد الكوني (الصغير جداً) قد تتغير في كل هذه الإصدارات، إذا استعملنا [[اصطلاح الإشارة]] المتري +--- بدلاً عن MTW −+++ اصطلاح الإشارة المتري المتبنى هنا.

===صيغ مكافئة===
يمكن كتابة معادلات آينشتين للمجال بالصورة (التقفي العكسي) المكافئة التالية:

:<math>R_{\mu \nu} - g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^4} (T_{\mu \nu} - {1 \over 2}T\,g_{\mu \nu})</math>

والتي يمكن أن تكون أكثر ملائمة في بعض الأحيان (مثلاً، عندما يهتم المرء بحد المجال الضعيف ويمكنه إبدال <math>g_{\mu\nu}</math> in التعبير على الطرف الأيمن بموتر مينكوسكي دونما فقد ملحوظ للدقة).

==الثابت الكوني==
قام آينشتين بتعديل معادلاته الأصلية للمجال كي تتضمن حداً كونياً متناسباً مع [[متري (رياضيات)|المتري]]
:<math>R_{\mu \nu} - {1 \over 2}g_{\mu \nu}\,R + g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu} \,.</math>

الثابت <math>\Lambda</math> يعد [[ثابت كوني]]. لأن <math>\Lambda</math> ثابتاً، فلن يتأثر مبدأ حفظ الطاقة.

ثابت الحد الكوني كان آينشتين قد قدمه أصلاً لوصف كون ساكن (بمعنى أنه لا يتمدد ولا ينكمش). لم كن هذا المجهود ناجحاً لسببين: الكون الساكن في هذه النظرية لم يكن مستقراً حيث أكدت مراقبة المجرات البعيدة بواسطة [[هوبل]] بعد عقد من الزمن أن كوننا ليس ساكناُ في الحقيقة بل أنه [[كون متمدد|يتوسع]]. بالتالي تم التخلي عن <math>\Lambda</math>، والتي أطلق علها آينشتين "أفضع خطأ فادح أرتكبه".<ref name = gamow>{{cite book| last = Gamow| first = George| authorlink = George Gamow| title = My World Line : An Informal Autobiography| publisher = [[Viking Adult]]| date = April 28, 1970| isbn = 0670503762| url = http://www.jb.man.ac.uk/~jpl/cosmo/blunder.html| accessdate = 2007-03-14 }}</ref> ولأعوام عديدة ظل الثابت الكوني متفق على أنه 0 تقريباً.

بعيداً عن حماسة [[آينشتين]]'المضللة في تقديم حد الثابت الكوني، لايوجد ما يتعارض مع حد كهذا في المعادلة. في الواقع، هناك تقنيات [[علم الفلك|فلكية]] متطورة حديثة قد وجدت أن القيمة الموجبة لـ <math>\Lambda</math> ضرورية لتفسير بعض المشاهد.<ref name=wahl>{{cite news|last=Wahl| first=Nicolle| date=2005-11-22| title=Was Einstein's 'biggest blunder' a stellar success?| url=http://www.news.utoronto.ca/bin6/051122-1839.asp | accessdate=2007-03-14}}</ref><ref name=turner>{{cite journal|last=Turner | first=Michael S.| date=May, 2001| title=A Spacetime Odyssey| journal=Int.J.Mod.Phys. A17S1| pages=180–196 | accessdate=2007-03-14|url=http://arxiv.org/abs/astro-ph/0202008}}</ref>

كان آينشتين يعتقد بأن الثابت الكوني ويسيط مستقل، لكن حده في المعادلة يمكن أن ينتقل أيضاً إلى الطرف الآخر جبرياً، المكتوب كجزء من موتر الإجهاد-الطاقة:
:<math>T_{\mu \nu}^{\mathrm{(vac)}} = - \frac{\Lambda c^4}{8 \pi G} g_{\mu \nu} \,.</math>

تعتبر [[طاقة الفراغ]] ثابتة بالعلاقة
:<math>\rho_{\mathrm{vac}} = \frac{\Lambda c^2}{8 \pi G}</math>

بالتالي فإن وجود ثابت كوني ذا طاقة فراغ لا صفرية.اليوم تستعمل الحدود في النسبية العامة بشكل تبادلي.

==خصائص==
===حفظ الطاقة وكمية التحرك===
النسبية العامة متطابقة مع مبدأي حفظ الطاقة كمية التحرك المحلية المعبر عنهما بالعلاقات

:<math>\nabla_b T^{ab} \, = T^{ab}{}_{;b} \, = 0</math>.

<div style="clear:both;width:65%;" class="NavFrame">
<div class="NavHead" style="background-color:#FFFAF0; text-align:right; font-size:larger;">اشتقاق انحفاظية الطاقة-كمية التحرك المحلية </div>
<div class="NavContent" style="text-align:right;">

بتقليص [[موتر تقوس ريمان#المتماثلات والمتطابقات|متطابقة بيانشي التفاضلية]]

:<math>R_{ab[cd;e]} = \, 0</math>

مع <math>g^{ac}</math> نحصل على, وبفضل الحقيقة القائلة أن الموتر المتري هو ثابت تبايني، أي<math>g^{ab}{}_{;c}=0</math>,

:<math>R^c{}_{bcd;e} + \, R^c{}_{bec;d} + \, R^c{}_{bde;c} = \, 0</math>

يسمح نقيض تماثل موتر ريمان للحد الثاني في التعبير السابق بإعادة كتابته على الصورة:

:<math>R^c{}_{bcd;e} \, - R^c{}_{bce;d} \, + R^c{}_{bde;c} \, = 0</math>

وهي مكافئة للعلاقة

:<math>R_{bd;e} \, - R_{be;d} \, + R^c{}_{bde;c} \, = 0</math>

باستعمال تعريف[[موتر ريكسي]].

بالاختصار مرة أخرى بالمتري

:<math>g^{bd}(R_{bd;e} \, - R_{be;d} \, + R^c{}_{bde;c}) \, = 0</math>

لتحصيل

:<math>R^d{}_{d;e} \, - R^d{}_{e;d} \, + R^{cd}{}_{de;c} \, = 0</math>

تعريفات موتر ريمان وقياسي ريكسي تبين لنا أن

:<math>R_{,e} \, - 2R^c{}_{e;c} \, = 0</math>

ويمكن إعادة كتابتها بالصورة

:<math>(R^c{}_{e} \, - \frac{1}{2}g^c{}_{e}R)_{;c} \, = 0</math>

اختصار أخير <math>g^{ed}</math> يعطي

:<math>(R^{cd} \, - \frac{1}{2}g^{cd}R)_{;c} \, = 0</math>

والتي تعطينا من التماثل بين الحاصرتين وتعريف [[موتر آينشتي]]ن -بعد إعادة عنونة المعاملات

:<math> G^{ab}{}_{;b} \, = 0 </math>

باستعمال EFE, يعطينا هذا مباشرة

:<math>\nabla_b T^{ab} \, = T^{ab}{}_{;b} \, = 0</math>

</div>
</div>

وهي تعبر عن بقاء الطاقة-الإجهاد. يعد قانون البقاء هذا متطلباً فيزيائياً. بفضل معادلاته للمجال تأكد آينشتين بأن النسبية العامة متوافقة مع شرط البقاء هذا.

===اللاخطية===

إن عدم خطية معادلات آينشتين للمجال يميز النسبية العامة عن نظريات فيزيائية أخرى عديدة. على سبيل المثال، [[معادلات ماكسويل]] [[كهرومغنطيسية|للكهرومغنطيسية]] تكون خطية في توزيعات [[المجال الكهربائي]] و[[المجال المغناطيسي]] و[[الشحنة]] و[[التيار]]. (أي أن مجموع الحلين هو حل أيضاً); مثال آخر هو [[معادلة شرودنجر]] في [[ميكانيكا الكم]] والتي هي خطية في [[دالة الموجة]].

===مبدأ التوافق===
تنخفض EFE إلى [[قانون الجذب العام لنيوتن]] باستعمال كل من [[تقريب المجال الضعيف]] و[[نهاية كلاسيكية|تقريب الحركة البطيئة]]. في الواقع، الثابت الذي يظهر في EFE نحصل عليه بفعل هذين التقريبين.

<div style="clear:both;width:65%;" class="NavFrame">
<div class="NavHead" style="background-color:#FFFAF0; text-align:right; font-size:larger;">اشتقاق قانون الجذب العام لنيوتن</div>
<div class="NavContent" style="text-align:right;">

يمكن صياغة الجاذبية النيوتينية كنظرية مجال قياسي، <math>\Phi \!</math>، والتي هي توتر الجاذبية بوحدات الجول لكل كيلوغرام.
:<math>\nabla^2 \Phi [\vec{x},t] = 4 \pi G \rho [\vec{x},t]</math>

حيث<math>\rho \!</math> كثافة الكتلة. يحقق مدار [[السفوط الحر]] العلاقة
:<math>\ddot{\vec{x}}[t] = - \nabla \Phi [\vec{x} [t],t] \,.</math>
، بعلامات الموتر تصبح
:<math>\Phi_{,i i} = 4 \pi G \rho \,</math>
:<math>\frac{d^2 x^i}{{d t}^2} = - \Phi_{,i} \,.</math>

تستبدل هذه المعادلات في النسبية العامة بمعادلات مجال آينشتين بصورة انعكاس الأثر
:<math>R_{\mu \nu} = K (T_{\mu \nu} - {1 \over 2} T g_{\mu \nu})</math>

لثابت ما، ''K''، و[[معادلة جيوديسية]]
:<math>\frac{d^2 x^\alpha}{{d \tau}^2} = - \Gamma^\alpha_{\beta \gamma} \frac{d x^\beta}{d \tau} \frac{d x^\gamma}{d \tau} \,.</math>

لتوضيح كيفية اختصار هذه الأخيرة، إلى السابقة نفترض أن سرعة عينة الجسيم هي صفر تقريبا:
:<math>\frac{d x^\beta}{d \tau} \approx (\frac{d t}{d \tau}, 0, 0, 0) </math>

وعليه
:<math>\frac{d}{d t} \left(\frac{d t}{d \tau} \right) \approx 0 </math>

والمتري ومشتقاته هي ساكنة تقريباً وأن مربعات الانحراف من [[متري منسكوسكي]] مهملة. بتطبيق فرضيات التبسيط هذه على المركبات المكانية للمعادلة الجيوديسية يعطينا
:<math>\frac{d^2 x^i}{{d t}^2} \approx - \Gamma^i_{0 0} </math>

حيث أن عاملين من <math>\frac{d t}{d \tau}</math> قد تمت قسمتهما. هذا يخفضها إلى نظيرتها النيوتنية، شريطة أن

:<math>\approx \Gamma^i_{0 0} = {1 \over 2} g^{i \alpha} (g_{\alpha 0، 0} + g_{0 \alpha، 0} - g_{0 0، \alpha}) \,</math>

افتراضاتنا تجبر مشتقات α=i والزمن (0) على البقاء أصفار. على هذا الأساس تتبسط إلى
:<math>2 \Phi_{,i} \approx g^{i j} (- g_{0 0، j}) \approx - g_{0 0، i} \,</math>

والتي تتحقق بوضع
:<math>g_{0 0} \approx - c^2 - 2 \Phi \,.</math>

بموائمتها بمعادلات آينشتين، سنحتاج فقط لمركبة الزمن-الزمن
:<math>R_{0 0} = K (T_{0 0} - {1 \over 2} T g_{0 0})</math>

تقتضي افتراضات السرعات المنخفضة والمجال الساكن أن
:<math>T_{\mu \nu} \approx \mathrm{diag} (T_{0 0}, 0, 0, 0) \approx \mathrm{diag} (\rho c^4, 0, 0, 0) \,.</math>

إذن
:<math>T = g^{\alpha \beta} T_{\alpha \beta} \approx g^{0 0} T_{0 0} \approx {-1 \over c^2} \rho c^4 = - \rho c^2 \,</math>

وبالتالي
:<math>K (T_{0 0} - {1 \over 2} T g_{0 0}) \approx K (\rho c^4 - {1 \over 2} (- \rho c^2) (- c^2)) = {1 \over 2} K \rho c^4 \,.</math>

من تعريف موتر ريكسي
:<math>
R_{0 0} = \Gamma^\rho_{0 0، \rho} - \Gamma^\rho_{\rho 0، 0}
+ \Gamma^\rho_{\rho \lambda} \Gamma^\lambda_{0 0}
- \Gamma^\rho_{0 \lambda} \Gamma^\lambda_{\rho 0}
.</math>

افتراضاتنا التبسيطية تنهي مربعات Γببعضها مع مشتقات الزمن
:<math>R_{0 0} \approx \Gamma^i_{0 0، i} \,.</math>

بدمج المعادلات السابقة
:<math>\Phi_{,i i} \approx \Gamma^i_{0 0، i} \approx R_{0 0} = K (T_{0 0} - {1 \over 2} T g_{0 0}) \approx {1 \over 2} K \rho c^4 \,</math>

والتي تنخفض إلى معادلة المجال النيوتيني بشرط
:<math>{1 \over 2} K \rho c^4 = 4 \pi G \rho \,</math>

والذي سيتحقق إذا كان
:<math>K = \frac{8 \pi G}{c^4} \,.</math>

</div>
</div>

== المصادر ==
راجع [[مصادر النسبية العامة]].

<references/>

* Aczel, Amir D., 1999. ''God's Equation: Einstein, Relativity, and the Expanding Universe''. Delta Science. A popular account.
* [[Charles Misner]], [[Kip Thorne]], and [[John Wheeler]], 1973. ''[[Gravitation (book)|Gravitation]]''. W H Freeman.

== وصلات خارجية ==
* [http://www.black-holes.org/relativity6.html Caltech Tutorial on Relativity] — A simple introduction to Einstein's Field Equations.
* [http://math.ucr.edu/home/baez/einstein/einstein.html The Meaning of Einstein's Equation] — An explanation of Einstein's field equation, its derivation, and some of its consequences
* [http://www.youtube.com/watch?v=8MWNs7Wfk84&feature=PlayList&p=858478F1EC364A2C&index=2 Video Lecture on Einstein's Field Equations] by [[MIT]] Physics Professor Edmund Bertschinger.

[[تصنيف:فيزياء]]
[[تصنيف:معادلات تفاضلية]]
[[تصنيف:نسبية عامة]]

[[br:Kevatalenn Einstein]]
[[ca:Equacions de camp d'Einstein]]
[[de:Einsteinsche Feldgleichungen]]
[[en:Einstein field equations]]
[[es:Ecuaciones del campo de Einstein]]
[[fi:Einsteinin kenttäyhtälöt]]
[[fr:Équation d'Einstein]]
[[it:Equazione di campo di Einstein]]
[[ja:アインシュタイン方程式]]
[[ko:아인슈타인 방정식]]
[[ms:Persamaan medan Einstein]]
[[nl:Einstein-vergelijking]]
[[no:Einsteins feltligninger]]
[[pl:Równanie Einsteina]]
[[pt:Equações de campo de Einstein]]
[[ro:Ecuațiile lui Einstein]]
[[ru:Уравнения Эйнштейна]]
[[sl:Einsteinove enačbe polja]]
[[sv:Einsteins fältekvationer]]
[[tr:Einstein alan denklemleri]]
[[uk:Рівняння Ейнштейна]]
[[ur:آئنسٹائن میدانی مساواتیں]]
[[vi:Phương trình trường Einstein]]
[[zh:爱因斯坦场方程]]

معادلات آينشتين للمجال - تاريخ المراجعة

WikiSysop: ١ مراجعة: فيزياء