WikiSysop: ١ مراجعة: الصفحات في تصنيف رياضيات

2010-11-12T21:16:20Z

١ مراجعة: الصفحات في تصنيف رياضيات

صفحة جديدة

في [[رياضيات مسلية|الرياضيات المسلية]]، '''المربع السحري''' هي [[مصفوفة]] مربعة ذات حيز <math>(n)</math>، مكونة من <math>n^2</math> [[عدد صحيح|أعداد صحيحة]]، بحيث أن حاصل جمع <math>(n)</math> رقم في كلّ من الصفوف والأعمدة و[[قطر رئيسي|الأقطار الرئيسية]] يأدي لنفس الحاصل<ref>[http://demonstrations.wolfram.com/MagicSquare/ Magic Square]" by Onkar Singh [http://mathworld.wolfram.com/ Wolfram MathWorld].</ref>.
توجد مربعات سحرية مهما كان الحيز <math>n\ge1</math>، بإقصاء <math>n=2</math> (أربع أعداد)، مع كون الحالة <math>n=1</math> تعتبر أمرا بديهيا. يبين الشكل التالي مثالا لمربع سحري من <math>n=3</math>
<center>[[ملف:Magicsquareexample.svg]]</center>
لاحظ أن مجموع كل سطر وعمود وقطر رئيسي يساوي دائما 15. يسمى هذا المجموع [[ثابت سحري|ثابتا سحريا]] <math>(M)</math> وقيمته بصفة عامة:
:<math>M(n) = \frac{n(n^2+1)}{2}</math>

قيم الثوابت السحرية لمربعات سحرية عادية ذات حيز <math>n=5,4,3,\ldots</math> هي [[متتالية]]:
<math>15,34,65,\ldots</math> ([http://www.research.att.com/~njas/sequences/A006003 البقية]<ref name="OEIS">[http://www.research.att.com/~njas/sequences/Seis.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]</ref>).

== بناء المربعات السحرية ==
هناك العديد من الطرق القديمة والحديثة لبناء مربعات سحرية <ref>
[http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1337 Magic Squares] by Del Hawley [http://nrich.maths.org/public/index.php NRICH]
</ref>. يمكن تصنيف المربع السحري إلى ثلاثة أنواع رئيسية:
* مربع سحري ذو رتبة فردية ''n''.
* مربع سحري ذو رتبة زوجية مفردة ''n'' (أي ان = ''n''/2 [[عدد فردي]]).
* مربع سحري ذو رتبة زوجية مضاعفة ''n'' (أي ان = ''n''/2 [[عدد زوجي]]).

=== طرق إنشاء مربعات سحرية فردية الرتبة ===
[[ملف:Odd magic construction.png|تصغير|400بك|طريقة بناء مربع سحري فردي الرتبة.]]
تتميز المربعات السحرية فردية الرتبة في إمكانية تدوير المربع حتى تصبح الصفوف والأعمدة أقطارا بينما الأقطار صفوفا وأعمدة. يكون مركز المربع السحري دائما <math>\frac{n^2+1}{2}</math>
تتم العملية بالشكل الاتي:
:1- تعبئة المربع بالأرقام 1 حتى n<sup>2</sup>. سيتم تكرار المربع السحري من جميع جوانبه لتسهيل معرفة الأرقام المكملة خارجه عند الإزاحة.
:2- قراءة أحد القطرين وليكن [[قطر رئيسي|القطر الرئيسي]] ووضعه كعمود وسط المصفوفة الجديدة.
:3- قراءة الخلايا الموازية فوق القطر الرئيسي مع إزاحتها خلية واحدة (من الصف والعمود) في كل مرة عن سابقتها نحو اليسار والأعلى. يتم التوقف بعد n-1)/2) خطا موازيا للقطر الرئيسي.
:3- قراءة الخلايا الموازية تحت القطر الرئيسي مع إزاحتها خلية واحدة (من الصف والعمود) في كل مرة عن سابقتها نحو اليمين والأسفل. يتم التوقف بعد n-1)/2) خط موازيا للقطر الرئيسي.
:4- يتم نقل العناصر الجديدة إلى مصفوفة جديدة مع تدويرها 45 درجة بحيث تصبح الصفوف والأعمدة الأصلية أقطارا والأقطار الأصلية صفوفا.

=== طرق إنشاء مربعات سحرية زوجية الرتبة (مضاعفة) ===
[[ملف:Double-even magic construction.png|تصغير|200بك|طريقة بناء مربع سحري ذو رتبة زوجية مضاعفة.]]
تمتاز المربعات السحرية التي يقبل ثابتها السحري القسمة على 4 بدون باقي بإمكانية تطبيق قاعدة التبديل بين المرافقات بعد كل خليتين.
يمكن تلخيص العملية كما يلي
:1- تعبئة المربع بالأرقام 1 حتى n<sup>2</sup>.

:2- التبديل بين جميع أركان المربع. مثلا في المربع 4×4 تكون أركانه هي 1، 4، 13، 16. عند التبديل بين الركن الأول والرابع أي 1، 16 والركن الثاني والثالث أي 4، 13.
:3- يتم تكرار الإبدال لكل خليتين متتاليتين (مع ما يقابهما أي التبديل بين كل ''a''<sub>(n-i+1)(n-j+1)</sub> و''a''<sub>ji</sub>) وترك خليتين أخريين إبتداء من الخلية الثالثة في الصف الأول وحتى الوصول إلى مركز المربع مع عدم المساس بالأركان التي تم تغييرها في الخطوة السابقة.

=== طرق إنشاء مربعات سحرية زوجية الرتبة (مفردة) ===
[[ملف:Single-even magic construction.png|تصغير|250بك|طريقة بناء مربع سحري ذو رتبة زوجية مفردة.]]
تعتبر عملية إنشاء المربعات السحرية التي لا تقبل القسمة على 4 بدون باقي صعبة نسبيا، كما أنها لا تتميز بالتماثل التام. أبسط الطرق تتمثل في إعادة تقسيم المربع إلى 4 مربعات صغيرة متكافئة كما يلي:
:1- تقسيم المربع إلى 4 مربعات صغيرة متكافئة. لاحظ أن المربعات الناشئة عبارة عن مربعات فردية.
:2- تعبئة المربع الأول بالأرقام 1 حتى n<sup>2</sup>/4.
:3- تحويل المربع في الخطوة 2 إلى مربع سحري بالطريقة المستخدمة في المربعات السحرية الفردية.
:4- نقل نسخة من هذا المربع في المربعات الثلاثة الباقية مع إضافة n<sup>2</sup>/4 لكل عنصر في المربع الثاني، n<sup>2</sup>/2 لكل عنصر في المربع الثالث، و3n<sup>2</sup>/4 لكل عنصر في المربع الرابع.
:5- أصبح المربع السحري جاهزا تقريبا ولكن ينقصه شرط تحقق مجموع عناصر كل قطر. في هذه الحالة يتم التبديل بين بعض عناصر مربعين متجاورين حتى يكتمل الشرط.

== الصيغ العامة ==
==مشاكل رياضية ذات صلة==
== التاريخ ==
== الخواريزمية ==
=== برمجة المربعات السحرية ===
حساب المربعات السحرية يصبح سهلا بعد معرفة خوارزمياتها ومن الممكن برمجتها بأي [[لغة برمجة]]. مثلا باستعمال متصفح الويب ولغة [[جافا سكربت]] يمكن إنشاء دالة المربع السحري لأي عدد طبيعي كما يلي<ref>[http://www.freewebs.com/equations/ صفحة المعالج الرياضي مصممة كليا بلغة HTML وجافا سكربت]</ref>
<div style="background-color:#f0f0f0; border: lightblue 1px dashed;">
<source lang="html4strict">
<html>
<script>
function magic(n)
{
var i=0, j=(n-1)/2, p, k, m=[], m1=[], m2=[];
if(n<=0 || n-Math.ceil(n)!=0) return 'Error: n must be a positive integer..';
if(n==2) return 'Error: there is no magic square of 2x2 !';
if(n%4==0){//Double Even
for (i=0; i<n/2; i++){
for (j=0; j<n; j++){
if((((i%4==0)||(i%4==3))&&((j%4==1)||(j%4==2)))||(((j%4==0)||(j%4==3))&&((i%4==1)||(i%4==2)))){
m1[j]= i*n+j+1;
m2[n-j-1]= n*(n-i)-j;
}
else{
m1[j]= n*(n-i)-j;
m2[n-j-1]=i*n+j+1;
} }
m[i]=m1;
m[n-i-1]=m2;
m1=[];
m2=[];
}
}
else if(n%2==0){//Single Even
p = n/2;
m1 = magic(p);
for (i=0; i<2*p; i++)m[i]=[];
for (i=0; i<p; i++)for(j=0; j<p; j++){
m[i][j] = m1[i][j]*1;
m[i][j+p] = m1[i][j]*1+2*p*p;
m[i+p][j] = m1[i][j]*1+3*p*p;
m[i+p][j+p] = m1[i][j]*1+p*p;
}
for(i=0; i<p; i++){
k = (n-2)/4;
for(j=0; j<k; j++){
k2=m[i][j];
m[i][j]=m[i+p][j];
m[i+p][j]=k2;
}
}
for(i=0; i<p; i++){
for(j=n-k+1; j<n; j++){
k2=m[i][j];
m[i][j]=m[i+p][j];
m[i+p][j]=k2;
}
}
k2=m[k][0]; m[k][0]=m[k+p][0]; m[k+p][0]=k2;
k2=m[k][k]; m[k][k]=m[k+p][k]; m[k+p][k]=k2;
}
else{// Odd
for (k=1; k<=n*n; k++)
{
m2[i*n +j] = k;
i--;
j++;
if (k%n == 0){
i += 2;
j--;
}
if (j==n)j = 0;
if (i==-1) i = n-1;
}
for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)m1[j]=m2[i*n+j];m[i]=m1;m1=[];}
}
m[0][0]=' '+m[0][0];
for (k=0; k<n; k ++) m[k][n-1] += '\n';
return m;
}
</script>
<noscript> Java script must be enabled..<br /> </noscript>
<body>
Magic square of <input id=ent value="6">
<input type="button" value = " = " onclick ="disp.value=magic(ent.value*1)">
<br /><textarea id="disp" style="width: 780px; height: 300px">
</textarea>
</body>
</html>
</source>
</div>

== تطبيقات ==
للمربع السحري بعض التطبيقات المسلية والعلمية أحيانا. يمكن بواسطته مثلا تحليل المساحات بشكل منتظم. مثال ذلك المسألة التالية:

لو كان لدينا 81 قطعة ذهبية بحيث أن كتلة كل قطعة تساوي ترتيبها. أي أن كتلة الأولى 1 غرام والثانية 2 غرام وهكذا وتطلب الأمر توزيعها بشكل عادل بين 9 أفراد.
نلاحظ أن إعادة توزيع هذه القطع في مربع سحري 9×9 يعطي الحل الأمثل بحيث يصبح نصيب كل فرد أحد صفوف المربع. يمكن أيضا توزيعها بطريقة الأعمدة بحيث يكون نصيب كل فرد أحد أعمدة المربع السحري.
== مراجع ==
{{ثبت_المراجع}}
{{بوابة رياضيات}}
{{جبر خطي}}

{{أسبوع الويكي}}

[[تصنيف:رياضيات]]
[[تصنيف:مصفوفات]]
[[تصنيف:رياضيات مسلية]]

[[bn:জাদু বর্গ]]
[[ca:Quadrat màgic]]
[[da:Magisk kvadrat]]
[[de:Magisches Quadrat]]
[[en:Magic square]]
[[eo:Magia kvadrato]]
[[es:Cuadrado mágico]]
[[fa:مربع جادویی]]
[[fi:Taikaneliö]]
[[fr:Carré magique (mathématiques)]]
[[gl:Cadrado máxico]]
[[he:ריבוע קסם]]
[[io:Magiala quadrato]]
[[it:Quadrato magico]]
[[ja:魔方陣]]
[[ko:마방진]]
[[ms:Segiempat sama ajaib]]
[[nl:Magisch vierkant]]
[[no:Magisk kvadrat]]
[[pl:Kwadrat magiczny (matematyka)]]
[[pt:Quadrado mágico]]
[[ro:Pătrat magic]]
[[ru:Магический квадрат]]
[[sl:Magični kvadrat]]
[[sv:Magisk kvadrat]]
[[ta:மாயச் சதுரம்]]
[[te:మాయా చతురస్రం]]
[[th:จัตุรัสกล]]
[[tr:Sihirli Kare]]
[[ur:جادوئی مربعے]]
[[zh:幻方]]

مربع سحري - تاريخ المراجعة

WikiSysop: ١ مراجعة: الصفحات في تصنيف رياضيات