WikiSysop: ١ مراجعة: الصفحات في تصنيف رياضيات

2010-11-12T21:15:57Z

١ مراجعة: الصفحات في تصنيف رياضيات

صفحة جديدة

[[ملف:PiCM200.svg|يسار||الحرف اليوناني پي]]
'''ط''' أو '''پاي''' (<math>{\pi}</math>) أو '''ثابت الدائرة''' هو ثابت رياضي يستخدم في [[رياضيات|الرياضيات]] و[[الفيزياء]] بشكل متكرر. الرمز <math>{\pi}</math> مأخوذ من الحرف الإغريقي الصغير [[پي (حرف إغريقي)|پاي]].

يعرف ط على أنه النسبة بين [[محيط]] الدائرة و[[قطر الدائرة|قطرها]]. وهو عدد [[أعداد حقيقية|حقيقي]] غير [[عدد كسري|كسري]] أي لا يمكن كتابته على شكل <math> a/b </math> حيث <math>a,b</math> أعداد صحيحة. وهو أيضاَ [[عدد متسامي]] أي غير [[عدد جبري|جبري]].

يعرف هذا العدد أيضا باسم ثابت أرخميدس.

[[ملف:Pi-unrolled-720.gif|تصغير|300بك|center| عندما يكون قطر دائرة =1، يكون محيطها= π.]]
ومن المعروف أن الأعداد غير النسبية لا يمكن تمثيلها بكسر عشري منته، لكن من المعتاد تقريب ط بالقيمة <math>3.14</math> أو
<math> 22/7 </math>.

== تاريخ '''ط''' وحسابها التقريبي ==
=== حساب '''ط''' في العصور القديمة والوسطى===
من غير المعروف كيف ومتى اكتشف الإنسان أن النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هي نسبة ثابتة، لكن من الأكيد أن هذه الحقيقة قد عرفت منذ قديم الزمان. فالحضارات القديمة كالحضارة [[مصر القديمة|المصرية]] و[[حضارة بابلية|البابلية]] تعاملت مع '''ط'''، كان البابليون يستخدمون التقريب <math>25/8</math> بينما استخدم المصريون التقريب <math>256/81</math>.<ref>{{cite book | title = Mathematics in the time of the Pharaohs | author = Richard J. Gillings | publisher = MIT press | year = 1972 | pages = 124 }}</ref>
ويرجع حصر قيمة <math>{\pi} </math> بين <math> 22/7 </math> و<math> 221/73 </math> إلى العالم اليوناني [[أرخميدس]] الذي ابتكر [[طريقة الاستنفاذ]] لحساب قيمة تقريبية للعدد '''ط'''.

في القرون التالية اهتم الفلكيون بتدقيق الحساب التقريبي لـ '''ط'''، وأوجد الفلكيون الهنود والصينيون عدة صيغ للقيمة التقريبية، وشارك العلماء المسلمون في تحسين تلك الصيغ، فتوصل جمشيد غياث الدين [[الكاشي]] في القرن الخامس عشر لحساب قيمة تقريبية صحيحة حتى ستة عشر رقم عشري.

الجدير بالذكر أن حساب العدد ط أو π كان قد وصل به [[غياث الدين الكاشي]] إلى 16 مرتبة عشرية قبل ظهور الالات الحاسبة بأربعمائة سنة.

=== حساب ط في العصر الحديث ===
مع ظهور [[آلة حاسبة|الآلات الحاسبة]] ثم [[حاسوب|الحاسبات الالكترونية]] والنظرية الرياضية للنهايات والمتسلسلات اللانهائية تحسنت قدرة العلماء على حساب قيم تقريبية للعدد ط، ووصل السجل العالمي حتى عام 2002 إلى أكثر من تريليون رقم عشري.
الجدير بالذكر أن فابريس حطم رقما قياسيا جديدا في 31 ديسمبر 2009 حين قام بحساب هذا العدد على حاسوب شخصي إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية، وقد استغرقه الحساب 131 استخدم خلالهاأسرع خوارزمية على الإطلاق حتى اليوم وكتب الشفرة المصدرية ب[[لغة سي]].<ref>[http://news.bbc.co.uk/2/hi/technology/8442255.stm BBC News - Pi calculated to 'record number' of digits]</ref><ref>[http://bellard.org/ موقع فابريس محطم الرقم العالمي للعام 2010 لحساب ط]</ref>

قيمة <math>{\pi}</math> التقريبية حتى 1000 مرتبة عشرية:
<div>

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679
8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196
4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273
7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094
3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912
9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132
0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235
4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859
5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303
5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989

</div>

== صيغ حسابية للعدد ط ==
توجد طرق عديدة ومختلفة لنشر وحساب العدد ط منها النشر بواسطة [[متسلسلة تايلور|سلاسل تايلور وماكلورين]]، النشر بواسطة [[متسلسلة فوريير|متسلسلات فوريير]]، النشر ب[[النظام الثنائي]]، والنشر [[كسر مستمر|بالكسور المستمرة]].
===النشر بواسطة متسلسلة ماكلورين===
إحدى المعادلات المعروفة لإيجاد ط هي :

<math> 4 * (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \cdots \cdots)</math>

ويمكن استنتاج هذه الصيغة من متسلسلة ماكلورين للدالة قوس ظا ({{إنج|arctan}}) حيث

<math>\arctan \, x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots\!</math>

في الحقيقة لاتستخدم الالات الحسابية السلسلة السابقة (عند تعويض x =1) بسبب تقاربها البطيء ويمكن ملاحظة ذلك عند الوصول إلى رقم المليون وواحد مثلا ستكون الدقة لاتتجاوز خمس مراتب عشرية, وهكذا.

يمكن استعمال الصيغة الرياضية عند تعويضات x أكبر من الواحد للحصول على تقارب أسرع مثل:

:<math>\pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right)\!</math>

وقد استطاع [[جون ماشن]] تسريع التقارب السابق وحساب ط حتى 100 مرتبة عشرية باستخدام قانون قوس الظل:

:<math>\frac{\pi}{4} = 4 \, \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}\!</math>

وهي الطريقة التي استعملت فيما بعد في أجهزة الحاسوب وحتى عهد قريب.
===سلاسل أخرى===
هناك حسابات أخرى مثل:
* صيغة فييه

:<math>\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots\!</math>

* مضروب واليس:

:<math>\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots\!</math>

اما في العصر الحديث فقد ظهرت [[خوارزم]]يات أكثر تقاربا بكثير مثل:

* سلسلة سرينيفاسا:

:<math>\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!</math>

* سلسلة الاخوان تشوندوفيسكي التي سمحت لاول مرة تقريب ط لمليار مرتبة عشرية عام 1989 باستخدام الحاسوب العملاق:

:<math>\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!</math>

و كان لخواريزمية برنت سالامن الاكتشاف الاروع والتي تبدأ بوضع:

:<math>a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1\!</math>

ثم المعاودة:

:<math>a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}\!</math>
:<math>t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n\!</math>

حتى تصبح ''an'' و''bn'' متقاربة بما يكفي. ويعطى تقريب π

:<math>\pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.\!</math>

ثم اكتشف علاقة أكثر ادهاشا:

:<math>\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left(\frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right),</math>

كونها بصيغة كسرية يمكن بها استخلاص الارقام [[نظام سداسي عشر|السداسية عشر]] و[[نظام ثنائي|الثنائية]] دون حساب سابقاتها وبها امكن الوصول إلى 1,000,000,000,000,000 [[نظام ثنائي|مرتبة ثنائية]].

في عام 2006 استطاع سيمون بلوف توليد سلسلة من الصيغ المدهشة بوضع ''q'' = eπ]], وبالتالي

:<math>\frac{\pi}{24} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \left(\frac{3}{q^n-1} - \frac{4}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math>

:<math>\frac{\pi^3}{180} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \left(\frac{4}{q^n-1} - \frac{5}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math>

وأخرى بالشكل,

:<math>\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right) </math>

حيث ''q'' = ''e''π, ''k'' هو [[عدد فردي]], و''a'', ''b'', ''c'' are [[عدد نسبي|اعداد نسبية]]. إذا كانت ''k'' على الشكل 4''m'' + 3, تصبح الصيغة بالشكل المبسط,

:<math>p\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{2^{k-1}}{q^n-1} - \frac{2^{k-1}+1}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math>

===صيغة بيلارد===
* تم تحسين منشور سيمون بلوف بواسطة فابريس بيلارد واكتشاف صيغة حسابية جديدة أسرع بحوالي 43% من سابقتها كما أمكنه ولأول مرة بها حساب ط لرقم قياسي جديد على حاسوب شخصي لايتجاوز سعره 3000 دولار (وصل إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية مقارنة بالحساب السابق الذي تم بمساعدة الحاسوب العملاق للوصول إلى 2.6 ترليون مرتبة عشرية أو 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية) مع نهاية عام 2009 وتدعى هذه الصيغة '''بصيغة بيلارد''':
: <math>
\begin{align}
\pi = \frac1{2^6} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{10n}} \, \left(-\frac{2^5}{4n+1} \right. & {} - \frac1{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} - \frac{2^6}{10n+3} \left. {} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac1{10n+9} \right)
\end{align}
</math>

===صيغ الكسر المستمر===
يمكن أيضا تمثيل ط في صيغة [[كسر مستمر]] بالشكل:

:<math>
\pi=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\cfrac{11^2}{6+\cfrac{13^2}{6+\cfrac{15^2}{6+\cdots}}}}}}}}
\ =\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\cfrac{5^2}{11+\cfrac{6^2}{13+\cfrac{7^2}{15+\cdots}}}}}}}}
</math>

== ط والعلوم الأخرى==
=== الفيزياء===
يمكن رؤية العدد ط أو π في العديد من القوانين الفيزيائية من أهمها:

* [[الثابت الكوني]]:<ref>{{cite web|first=Cole|last=Miller|url=http://www.astro.umd.edu/~miller/teaching/astr422/lecture12.pdf|format=PDF|title=The Cosmological Constant|publisher=[[University of Maryland, College Park|University of Maryland]]|accessdate=2007-11-08}}</ref>
::<math>\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho</math>
* [[مبدأ الريبة]], الذي ينص على أن قياس موضع جسيم (Δ''x'') و[[كمية التحرك]] (Δ''p'') لايمكن لكليهما أن يكونا صغيرين في نفس الوقت:<ref>{{cite web|first=James M|last=Imamura|url=http://zebu.uoregon.edu/~imamura/208/jan27/hup.html|title=Heisenberg Uncertainty Principle|publisher=[[University of Oregon]]|date=2005-08-17|accessdate=2007-11-09}}</ref>
::<math> \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} </math>
* [[معادلات المجال لآينشتين]] في [[النسبية العامة]]:<ref name = ein>{{cite journal| last = Einstein| first = Albert| authorlink = Albert Einstein | title = The Foundation of the General Theory of Relativity| journal = [[Annalen der Physik]] |year=1916| url = http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html| format = PDF | id = | accessdate = 2007-11-09 }}</ref>
::<math> R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik} </math>
* [[قانون كولوم]] [[مجال كهربائي|للقوة الكهربائية]], يصف القوة بين [[شحنة كهربائية|شحنتين كهربائيتين]](''q1'' and ''q2'') تفصلهما مسافة ''r'':<ref>
{{cite web|first=C. Rod|last=Nave|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elefor.html#c3|title=Coulomb's Constant|work=[[HyperPhysics]]|publisher=[[Georgia State University]]|date=2005-06-28|accessdate=2007-11-09}}</ref>
::<math> F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}</math>
* [[الثابت المغنطيسي]]:<ref>{{cite web |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?mu0 |title=Magnetic constant |accessdate=2007-11-09 |date=2006 [[Committee on Data for Science and Technology|CODATA]] recommended values |publisher=[[National Institute of Standards and Technology|NIST]] }}</ref>
::<math> \mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\,</math>
* [[قوانين كبلر]], التي تربط بين [[الزمن المداري]] (''P'') و[[قطع ناقص|المحور الإهليجي الأكبر]] ''a'' [[كتلة|والكتل]](''M'' و''m'') لجسمين مداريين حول بعضهما:
::<math>\frac{P^2}{a^3}={(2\pi)^2 \over G (M+m)} </math>

=== الاحتمالات والإحصاء ===
في علم [[الاحتمالات]] و[[الإحصاء]]، توجد العديد من [[توزيع احتمالي|التوزيعات]] التي تحوي العدد π ضمنها مثل:
* [[دالة الكثافة الاحتمالية]] [[توزيع احتمالي طبيعي|للتوزيع المنتظم]] [[متوسط|بالمتوسط]] μ و[[الانحراف المعياري]] σ, نتيجة [[تكامل غاوسي|للتكامل الغاوسي]]:<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/GaussianIntegral.html|title=Gaussian Integral|publisher=[[MathWorld]]|first=Eric W|last=Weisstein|authorlink=Eric W. Weisstein|date=2004-10-07|accessdate=2007-11-08}}</ref>

:<math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}</math>
* دالة الكثافة الاحتمالية [[توزيع كوشي|لتوزيع كوشي]]:<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/CauchyDistribution.html|title=Cauchy Distribution|publisher=[[MathWorld]]|first=Eric W|last=Weisstein|authorlink=Eric W. Weisstein|date=2005-10-11|accessdate=2007-11-08}}</ref>

:<math>f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}.</math>

== وصلات داخلية ==
* [[ثابت رياضي]]

== وصلات خارجية ==
* [http://mathramz.com/math/pi العدد باي على شبكة الرياضيات رمز]
* [http://zenwerx.com/pi.php باي حتى 4 ملايين خانة]

== المصادر ==
{{ثبت_المراجع}}

{{بوابة رياضيات}}

{{وصلة مقالة جيدة|es}}

[[تصنيف:رياضيات]]
[[تصنيف:أعداد]]

{{وصلة مقالة مختارة|nl}}
{{وصلة مقالة مختارة|mk}}
{{وصلة مقالة مختارة|he}}
{{وصلة مقالة مختارة|eo}}
{{وصلة مقالة مختارة|de}}
{{وصلة مقالة مختارة|af}}

[[af:Pi]]
[[als:Pi (Mathematik)]]
[[an:Numero π]]
[[arz:پاى (رياضيات)]]
[[ast:Pi]]
[[az:Pi (ədəd)]]
[[bat-smg:Pi]]
[[be:Пі]]
[[be-x-old:Пі]]
[[bg:Пи]]
[[bn:পাই]]
[[bs:Pi]]
[[ca:Nombre π]]
[[ceb:Pi]]
[[cs:Pí (číslo)]]
[[cy:Pi]]
[[da:Pi (tal)]]
[[de:Kreiszahl]]
[[el:Αριθμός π]]
[[en:Pi]]
[[eo:Pi (nombro)]]
[[es:Número π]]
[[et:Pii]]
[[eu:Pi (zenbakia)]]
[[fa:عدد پی]]
[[fi:Pii (vakio)]]
[[fr:Pi]]
[[fur:Pi grêc]]
[[ga:Pi]]
[[gan:圓周率]]
[[gl:Número pi]]
[[haw:Pai (makemakika)]]
[[he:פאי]]
[[hi:पाई]]
[[hr:Pi (broj)]]
[[hsb:Konstanta π]]
[[ht:Pi (matematik)]]
[[hu:Pi (szám)]]
[[ia:Pi]]
[[id:Pi]]
[[is:Pí]]
[[it:Pi greco]]
[[ja:円周率]]
[[jv:Pi]]
[[ka:პი (რიცხვი)]]
[[kk:Пи саны]]
[[ko:원주율]]
[[ksh:Pi (Kräjßzal)]]
[[ku:Pi]]
[[la:Numerus pi]]
[[li:Pi (wiskónde)]]
[[lmo:Nümar Pi]]
[[lt:Pi]]
[[lv:Pī]]
[[mg:Pi]]
[[mk:Пи]]
[[ml:പൈ (ഗണിതം)]]
[[mn:Пи]]
[[mr:पाय, अव्यय राशी (π)]]
[[ms:Pi]]
[[nds:Krinktall]]
[[new:पाइ]]
[[nl:Pi (wiskunde)]]
[[nn:Pi]]
[[no:Pi]]
[[oc:Pi]]
[[os:Пи]]
[[pcd:Pi]]
[[pl:Pi]]
[[pnb:پائی]]
[[pt:Pi]]
[[qu:Chiqaluwa]]
[[ro:Pi]]
[[roa-tara:Pi greche]]
[[ru:Пи (число)]]
[[sah:Пи]]
[[scn:Pi grecu]]
[[sco:Pi]]
[[sh:Pi]]
[[si:පයි]]
[[simple:Pi (mathematical constant)]]
[[sk:Ludolfovo číslo]]
[[sl:Pi]]
[[sq:Numri pi]]
[[sr:Пи]]
[[sv:Pi]]
[[szl:Pi]]
[[ta:பை (கணித மாறிலி)]]
[[te:పై]]
[[th:พาย (ค่าคงตัว)]]
[[tl:Pi]]
[[tr:Pi sayısı]]
[[tt:Пи саны]]
[[uk:Число пі]]
[[ur:پائی]]
[[uz:Pi]]
[[vi:Pi]]
[[war:Pi]]
[[wuu:圆周率]]
[[xal:Пи]]
[[yi:פי]]
[[yo:Pi]]
[[zh:圓周率]]
[[zh-classical:圓周率]]
[[zh-min-nan:Îⁿ-chiu-lu̍t]]
[[zh-yue:圓周率]]

ط (رياضيات) - تاريخ المراجعة

WikiSysop: ١ مراجعة: الصفحات في تصنيف رياضيات