WikiSysop: ١ مراجعة: الصفحات في تصنيف رياضيات

2010-11-12T21:16:19Z

١ مراجعة: الصفحات في تصنيف رياضيات

صفحة جديدة

في علم [[الرياضيات]], تعطي صيغة '''صيغة أويلر-ماكلورين''' ارتباطا وثيقا بين [[التكامل]] (انظر [[التفاضل والتكامل]]) والمجموع.

يمكن استخدام الصيغة لتقريب التكاملات بعدد محدود من المجاميع, أو تقييم مجاميع محدودة و[[متسلسلة|سلاسل غير منتهية]] باستعمال التكاملات والية التفاضل على نحو مضاد.
على سبيل المثال, العديد من المنشورات المقاربة يتم اشتقاقها من هذه الصيغة و[[صيغة فاولابر]] لمجموع القوى هو نتيجة مباشرة لذلك.

اكتشفت الصيغة من قبل [[ليونارد أويلر]] و[[كولن ماكلورين]] كل على حده في حوالى 1735 (وعممت فيما بعد تحت [[صيغة داربوكس]]). احتاج إليها أويلر ليحسب متسلسلة لانهائية بطيئة التقارب بينما استخدمها ماكلورين لحساب التكاملات.

== الصيغة ==
إذا كان ''n'' [[عدد طبيعي]], وكانت <math>f(x)\,</math> [[دالة]] أكثر سلاسة(بمعنى أنها قابلة [[اشتقاق|للاشتقاق]] بما يكفي) معرفة لجميع [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] ''x'' بين 0 و''n'', فإن التكامل

:<math>I=\int_0^n f(x)\,dx</math>

يمكن تقريبه بالمجموع (والعكس صحيح)

:<math>
S=\frac{1}{2}f(0)+f\left(1\right) +\cdots+f\left(n-1\right) +\frac{1}{2}f(n)
</math>

تعطي صيغة أويلر-ماكلورين تعابير للفرق بين المجموع والتكامل بدلالة المشتقات العليا <math>f^{(k)}\,</math> عند اطراف النقاط على الفترة 0 و''n''. وبوضوح, لأي عدد طبيعي ''p'', يكون لدينا (انظر [[قاعدة شبه المنحرف]]).

:<math> S-I = \sum_{k=2}^p {\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)} +R </math>

حيث ''B''1 = −1/2، ''B''2 = 1/6، ''B''3 = 0، ''B''4 = −1/30, ''B''5 = 0، ''B''6 = 1/42، ''B''7 = 0، ''B''8 = −1/30,... هي [[أعداد بيرنولي]], و''R'' هو حد الخطأ وعادة مايكون صغيرا عند قيم مناسبة لـ''p''. (غالبا يتم كتابة الصيغة بالقيم الزوجية, بما أن أعداد بيرنولي الفردية أصفار عدا ''B''1.)

لاحظ أن

: <math>-B_1(f(n)+f(0)) =\frac{1}{2}(f(n)+f(0)).</math>

وعليه يمكن أيضا كتابة الصيغة كما يلي:

:<math>
\begin{align}
& \quad \sum_{i=0}^n f(i) = \int^n_0f(x)\,dx-B_1(f(n)+f(0))+\sum_{k=2}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R.
\end{align}
</math>

باستخدام قاعدة التعويض, يمكن مواءمة هذه الصيغة أيضا للدوال ''ƒ'' والمعرفة على [[فترة (رياضيات)|فترة]] ما أخرى من الخط الحقيقي.

=== الحد المتبقي ===
الحد المتبقي ''R'' يعبر عنه غالبا باستخدام [[كثيرة حدود بيرنولي|كثيرات حدود بيرنولي الدورية]] (''P''''n''(''x''. تعرف [[كثيرة حدود بيرنولي]] ''B''''n''(''x'')، ''n'' = 0, 1, 2, ... بشكل تعاودي على أنها

:<math>B_0(x) = 1, \, </math>

:<math> B_n'(x) = nB_{n-1}(x)\mbox{ and }\int_0^1 B_n(x)\,dx = 0\mbox{ for }n \ge 1. </math>

حينئذ فإن دوال بيرنولي الدورية ''P''''n'' تعرف بالشكل

:<math> P_n(x) = B_n(x - \lfloor x\rfloor)\mbox{ for }x > 0, \, </math>

حيث ترمز<math>\scriptstyle \lfloor x\rfloor</math> إلى العدد الصحيح الأكبر والذي لا يكون أكبر من ''x''. وعليه, بدلالة ''P''''n''(''x''), فإن الحد المتبقي ''R'' يمكن كتابته بالصورة

:<math> R = (-1)^{p+1} \int_0^n f^{(p)}(x) {P_p(x) \over p!}\,dx, </math>

بما أن <math>|P_p(x)|\,</math> عادة أقل من <math>2p!/(2\pi)^p\,</math>, فيمكن توقع حجم الحد المتبقي باستخدام
:<math>\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^p}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.</math>

== تطبيقات ==
=== مسألة بازل ===

كانت [[مسألة بازل]] تتسأل عن إيجاد المجموع
:<math> 1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \frac1{25} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}. </math>
قام اوي←لر بحساب هذا المجموع بدقة 20 خانة عشرية باستعمال حدود معدودة من صيغة أويلر ماكلورين سنة 1735. وربما أقنعه هذا بأن المجوموع مكافئا لـ π2 / 6, والتي أثبتها في نفس العام.<ref>David J. Pengelley, [http://www.math.nmsu.edu/~davidp/euler2k2.pdf "Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula"], in: Robert Bradley and Ed Sandifer (Eds), ''Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002)''، Euler Society, 2003.</ref>

=== مجاميع ذات كثيرة حدود ===
إذا كانت ''f'' دالة كثيرة حدود و''p'' كبيرة بشكل كاف, فإن الحد المتبقي يتلاشى. على سبيل المثال، إذا كانت ''f''(''x'') = ''x''3,, فيمكننا اختيار ''p'' = 2 لتوضيح الاتي بعد التبسيط

:<math>\sum_{i=0}^n i^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2</math>
(انظر [[صيغة فاولابر]]).

=== التكامل العددي ===
تستخدم صيغة أويلر ماكلورين أيضا في تفصيل تحليل الخطأ في [[تربيع عددي|التربيع العددي]]، وخاصة طرق التقدير الاستقرائي المعتمدة عليها. يعتبر [[تربيع كلينشو-كيرتيس]] في الأساس تحويلا في المتغيرات لتمثيل تكامل اعتباطي بدلالة تكاملات دوال دورية تكون فيها صيغة أويلر ماكلورين دقيقة جدا (وفي تلك الحالة تأخذ صيغة أويلر ماكلورين شكل [[تحويل جيب تمام متقطع]])

=== نشر المحاميع المقارب ===

في سياق حساب [[نشر مقارب|المتسلسلات المقاربة]] للمجاميع و[[متسلسلة|المتسلسلات]], فإن الشكل التالي يكون عالبا أفضل صيغة في أويلر ماكلورين

:<math>\sum_{n=a}^b f(n) \sim \int_a^b f(x)\,dx + \frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{k=1}^\infty \,\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right), \, </math>

حيث''a'' و''b'' أعداد صحيحة.<ref>{{harvtxt|Abramowitz|Stegun|1972}}, 23.1.30</ref> وفي الغالب يبقى النشر مشروعا حتى بعد أحذ النهايات <math>{\scriptstyle a\to -\infty}\,</math> أو <math>{\scriptstyle b\to +\infty}\,</math>, أو كلاهما. في حالات عديدة يمكن تقدير التكامل في الجانب الأيمن في [[نظرية غالويس التفاضلية|شكل مغلق]] بدلالة [[دالة أساسية|الدوال الأساسية]] حتى ولو أن الجمع على الجانب الأيسر غير قادر على ذلك. حينئذ يمكن التعبير عن جميع الحدود في السلسلة المقاربة بدلالة دوال أساسية.

:<math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z+k)^2} \sim \underbrace{\int_0^\infty\frac{1}{(z+k)^2}\,dk}_{=1/z}+\frac{1}{2z^2}
+\sum_{t=1}^\infty \frac{B_{2t}}{z^{2t+1}}.\,</math>

هنا الجانب الأيسر يساوي <math>{\scriptstyle \psi^{(1)}(z)}\,</math>, بالاسم [[دالة متعدد غاما]] من الرتبة الأولى المعرفة من خلال <math>{\scriptstyle \psi^{(1)}(z)=\frac{d^2}{dz^2}\ln \Gamma(z)}\,</math>; [[دالة غاما]] <math>{\scriptstyle \Gamma(z)}\,</math> تساوي <math>{\scriptstyle (z-1)!}\,</math> إذا كان <math>{\scriptstyle z}\,</math> [[عدد صحيح]]. ينتج عن هذا نشر مقارب لـ <math>{\scriptstyle \psi^{(1)}(z)}\,</math>. وهذا النشر بدوره, يخدمنا كنقطة بداية لواحدة من اشتقاقات دقيقة لتوقع الخطأ في [[تقريب ستيرلينغ]] لدالة [[المضروب]].

== البراهين ==
=== الاشتقاق بالاستقراء الرياضي ===
باتباع النقاش المعطى في (Apostol) <ref>{{cite doi|10.2307/2589145}}</ref>.

يمكن تعريف [[كثيرات حدود بيرنولي]] ''B''''n''(''x''), ''n'' = 0, 1, 2, ... بشكل معاود كما يلي:

:<math>B_0(x) = 1, \, </math>

:<math> B_n'(x) = nB_{n-1}(x)\mbox{ and }\int_0^1 B_n(x)\,dx = 0\mbox{ for }n \ge 1. </math>

البعض الأولى من هذه هي

:<math> B_1(x)=x-1/2, \quad B_2(x)=x^2-x+1/6, </math>


:<math> B_3(x) = x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x, \quad B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}, \dots </math>

القيم ''B''''n''(1) هي [[أعداد بيرنولي]]. لاحظ أن
لأجل ''n'' ≥ 2 يكون لدينا
:<math>B_n(0) = B_n(1) = B_n\quad(:n\text{th Bernoulli number}). </math>

نعرف دوال بيرنولي الدورية ''P''''n'' بالصورة

:<math> P_n(x) = B_n(x - \lfloor x\rfloor)\mbox{ for }0 < x < 1, \, </math>

حيث <math> \lfloor x\rfloor</math> ترمز لأكبر عدد صحيح ليس أكبر من ''x''. وعليه فإن ''P''''n'' تتفق مع كثيرات حدود بيرنولي على الفترة (0, 1) كما أنها [[دالة دورية|دورية]] إذا كان الدور = 1. إذن,

:<math> P_n(0) = P_n(1)= B_n\quad \text{for } n>1.</math>

لأجل''n'' = 1,

:<math> P_1(0) = - P_1(1)=B_1.</math>

والان, باعتبار التكامل

:<math> \int_k^{k+1} f(x)\,dx = \int u\,dv,</math>

حيث

:<math>\begin{align}
u &{}= f(x), \\
du &{}= f'(x)\,dx, \\
v &{}= P_1(x),\\
dv &{}= P_0(x)\,dx \quad (\mbox{since }P_0(x)=1). \\
\end{align}</math>

[[التكامل بالتجزيء]], نحصل على

:<math>\begin{align}
\int_k^{k+1} f(x)\,dx &= uv - \int v\,du &{}\\
&= \Big[f(x)P_1(x) \Big]_k^{k+1} - \int_k^{k+1} f'(x)P_1(x)\,dx \\[8pt]
&=-B_1(f(k) + f(k+1)) - \int_k^{k+1} f'(x)P_1(x)\,dx.
\end{align} </math>

وبجمع الصورة السابقة ''k'' = 0 to ''k'' = ''n'' − 1, نحصل على

:<math>
\begin{align}
&\int_0^1 f(x)\,dx+\dotsb+\int_{n-1}^n f(x)\,dx \\
&= \int_0^n f(x)\, dx \\
&= \frac{f(0)}{2}+ f(1) + \dotsb + f(n-1) + {f(n) \over 2} - \int_1^n f'(x) P_1(x)\,dx.
\end{align}</math>

بإضافة (''ƒ''(0) + ''ƒ''(''n''))/2 إلى كلا الطرفين واعادة الترتيب نحصل على

:<math> \sum_{k=0}^n f(k) = \int_0^n f(x)\,dx + {f(0) + f(n) \over 2} + \int_0^n f'(x) P_1(x)\,dx.\qquad (1)</math>

يعطي الحدين الأخيرين بالتالي الخطأ عند تقريب التكامل بالمجموع.

فيما يلي لنعتبر

:<math> \int_k^{k+1} f'(x)P_1(x)\,dx = \int u\,dv, </math>

حيث

:<math>\begin{align}
u &{}= f'(x), \\
du &{}= f''(x)\,dx, \\
v &{}= P_2(x)/2\\
dv &{}= P_1(x)\,dx.
\end{align}</math>

وبالتكامل بالتجزيء مرة أخرى, نحصل على

:<math>\begin{align}
uv - \int v\,du &{}= \left[ {f'(x)P_2(x) \over 2} \right]_k^{k+1} - {1 \over 2}\int_k^{k+1} f''(x)P_2(x)\,dx \\ \\
&{}= {f'(k+1) - f'(k) \over 12} -{1 \over 2}\int_k^{k+1} f''(x)P_2(x)\,dx.
\end{align}</math>
الجمع من ''k'' = 0 إلى ''k'' = ''n'' − 1, ومن ثم بتعويض التكامل الأخير في (1) بالذي أثبتنا للتو أنه مساو له, نجد أنe

:<math> \sum_{k=0}^n f(k) = \int_0^n f(x)\,dx + {f(0) + f(n) \over 2} + \frac{B_2}{2}(f'(n) - f'(0)) - {1 \over 2}\int_0^n f''(x)P_2(x)\,dx. </math>

والآن, لابد أن القارئ قد حزر بأن هذه العملية تكرارية. استطعنا الحصول على إثبات لصيغة مجموع أويلر-ماكلورين ب[[الاستقراء الرياضي]], حيث اعتمدت خطوة الاستقراء على التكامل بالتجزيء ومطابقات دوال بيرنولي الدورية.

=== الاشتقاق بالتحليل الدالي ===
يمكن فهم صيغة أويلر ماكلورين بأنها تطبيق مثير للفضول عن بعض أفكار [[فضاء هيلبرت]] و[[التحليل الدالي]].

في البداية يتم حصر المسألة في مجال فترة الوحدة [0,1]. لتكن <math>B_n(x)\,</math> هي [[كثيرات حدود بيرنولي]]. تعطى زمرة دول [[فضاء ثنائي|ثنائية]] لكثيرات حدود بيرنولي بالعلاقة:

:<math>\tilde{B}_n(x)=\frac{(-1)^{n+1}}{n!} \left[
\delta^{(n-1)}(x-1) - \delta^{(n-1)}(x) \right]</math>

حيث δ هي [[دالة دايراك دلتا]]. العلاقة السابقة هي رمز لفكرة أخذ المشتقات عند نقطة; بالتالي يكون لدينا

:<math>\int_0^1 \tilde{B}_n(x) f(x)\, dx = \frac{1}{n!} \left[
f^{(n-1)}(1) - f^{(n-1)}(0) \right]</math>

من أجل ''n'' > 0 ودالة اعتباطية ولكنها تفاضلية ''ƒ''(''x'') على دالة الوحدة. في الحالة ''n'' = 0, يمكن تعريف <math>\tilde{B}_0(x)=1</math>. كثيرات حدود بيرنولي, على امتداد ثنائياتها, من مجموعة حالات متعامدة على فترة الوحدة: لدينا

:<math>\int_0^1 \tilde{B}_m(x) B_n(x)\, dx = \delta_{mn}</math>

و

:<math>\sum_{n=0}^\infty B_n(x) \tilde{B}_n(y) = \delta (x-y).</math>

حينئذ تتبع صيغة مجموع أويلر ماكلورين كتكامل على الآخر. لدينا

:<math>f(x)=\int_0^1 \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \tilde{B}_n(y) f(y)\, dy</math>

::<math>=\int_0^1 f(y)\,dy +
\sum_{n=1}^N B_n(x) \frac{1}{n!}
\left[ f^{(n-1)}(1) - f^{(n-1)}(0) \right]
- \frac{1}{(N+1)!} \int_0^1 B_{N+1}(x-y) f^{(N)}(y)\, dy.</math>

وبوضع ''x'' = 0 وترتيب الحدود, يمكن الحصول على تعبير لـ ''ƒ''(0). لاحظ أن أعداد بيرنولي تعرف بأنها ''B''''n'' = ''B''''n''(0), وأنها تتلاشى للقيم الفردية ''n'' أكبر من 1.

وبالتالي, باستخدام دالة بيرولي الدورية ''P''''n'' المعرفة أعلاه وبإعادة النقاش حول الفترة [1,2], يمكننا الحصول على تعبير ''ƒ''(1). وعلى هذا المنوال يمكن الحصول على تعبير لـ ''ƒ''(''n''), ''n'' = 0, 1, 2, ..., ''N'', وبإضافتها فوق بعض نحصل على صيغة أويلر ماكلورين. لاحظ أن هذا الاشتقاق لايفترض أن ''ƒ''(''x'') قابلة للتفاضل بشكل كاف وذات سلوك صحيح ; خاصة أن ''ƒ'' يمكن تقريبها [[كثرة حدود|بكثيرات حدود]]; وبشكل مكافئ بأن ''ƒ'' [[دالة تحليلية]] حقيقية.

يمكن إذن النظر إلى صيغة مجموع أويلر-ماكلورين على أنها حصيلة [[تمثيل مجموعة|تمثيل]] دوال على فترة الوحدة بالضرب المباشر لكثيرات حدود بيرنولي وثنائياتها. ومع ذلك لاحظ أن التمثيل ليس [[نظام شبكي مكتمل|مكتملا]] على مجموعة دوال [[مربع تكاملي|مربعة قابلة للتكامل]]. النشر بدلالة كثيرات حدود بيرنولي ليس له [[نواة دالة|نواة]] عادية. بشكل خاص، sin(2π''nx'') تقع على النواة; تكامل sin(2π''nx'') يتلاشى على فترة الوحدة, كما هو الفرق بين مشتقاته على النقاط الطرفية.

== ملاحظات ==
<references/>

== المصادر ==
* {{Citation | editor1-last=Abramowitz | editor1-first=Milton | editor1-link=Milton Abramowitz | editor2-last=Stegun | editor2-first=Irene A. | editor2-link=Irene Stegun | title=[[Handbook of Mathematical Functions|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]] | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-61272-0 | year=1972 | id=tenth printing }}, pp. 16, 806, 886
* {{MathWorld|title=Euler-Maclaurin Integration Formulas|urlname=Euler-MaclaurinIntegrationFormulas}}
* Pierre Gaspard, "r-adic one-dimensional maps and the Euler summation formula", ''Journal of Physics A'', '''25''' (letter) L483–L485 (1992). ''(Describes the eigenfunctions of the [[transfer operator]] for the [[Bernoulli map]])''
* Xavier Gourdon and Pascal Sebah, ''[http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/bernoulli.html Introduction on Bernoulli's numbers]'', (2002)
* [[D.H. Lehmer]], "On the Maxima and Minima of Bernoulli Polynomials", ''American Mathematical Monthly'', volume 47, pages 533–538 (1940)
* {{cite book | author=Hugh L. Montgomery | authorlink=Hugh Montgomery (mathematician) | coauthors=[[Robert Charles Vaughan (mathematician)|Robert C. Vaughan]] | title=Multiplicative number theory I. Classical theory | series=Cambridge tracts in advanced mathematics | volume=97 | year=2007 | isbn=0-521-84903-9 | pages=495–519}}

== انظر أيضا ==

[[تصنيف:نظريات تقريب]]
[[تصنيف:تحليلات مقاربة]]
[[تصنيف:تكاملات عددية]]
[[تصنيف:رياضيات]]

[[de:Euler-Maclaurin-Formel]]
[[en:Euler–Maclaurin formula]]
[[es:Fórmula de Euler-Maclaurin]]
[[fr:Formule d'Euler-Maclaurin]]
[[hu:Euler-Maclaurin képlet]]
[[it:Formula di Eulero-Maclaurin]]
[[ja:オイラーの和公式]]
[[km:រូបមន្តអយល័រ-ម៉ាក្លូរីន]]
[[nl:Formule van Euler-Maclaurin]]
[[pl:Wzór Eulera-Maclaurina]]
[[uk:Формула Ейлера — Маклорена]]

صيغة أويلر-ماكلورين - تاريخ المراجعة

WikiSysop: ١ مراجعة: الصفحات في تصنيف رياضيات