WikiSysop: ١ مراجعة: فيزياء

2010-11-12T21:59:56Z

١ مراجعة: فيزياء

→ مراجعة أقدم	مراجعة 21:59، 12 نوفمبر 2010
(لا فرق)

77.31.111.129: /* حركة البندول البسيط */

2010-02-21T20:10:31Z

حركة البندول البسيط

صفحة جديدة

'''الحركة التوافيقة البسيطة:''' هي [[حركة]] إهتزازية في [[خط]] [[مستقيم]] يتناسب فيها تسارع الكتلة طرديا مع مقدار الأزاحة، و يعاكسها في الإتجاه، و من الأمثلة عليها:
* حركة كتلة مربوطة ب[[نابض]].
* حركة [[بندول|البندول]] البسيط.

== حركة كتلة مربوطة بنابض ==

يظهر في الصورة التالية "حركة كتلة مربوطة بنابض" نابض مثبت طرفه الاخر بجدار رأسي، و موسوعة على سطح مستو عديم [[إحتكاك|الإحتكاك]]. عند سحب الكتلة من موضع إتزانها (س=0)، فإن الكتلة ستتحرك إزاحة مقدارها (س) عن هذا الموضع، و عند ترك الكتلة فإنها تتحرك حركة إهتزازية حول موضع الإتزان. و قد وجد أن القوة التي يؤثر بها النابض على الكتلة (قوة الإرجاع) مع الإزاحة تعطى بالعلاقة التالية:

'''ق = - أ س'''، حيث:
* '''ق:''' قوة إرجاع النابض، و تقاس بوحدة [[نيوتن]].
* '''أ:''' ثابت المرونة للنابض، و يقاس بوحدة نيوتن / [[متر]].
* '''س:''' إزاحة [[كتلة|الكتلة]] عن موضع الإتزان، و تقاس بوحدة المتر.

لاحظ إشارة [[سالب]] (-) في العلامة السابقة و هي تعني أن قوة الإرجاع دائما بعكس إتجاه الإزاحة.
و بتطبيق قانون نيوتن الثاني على حركة الكتلة المربوطة على النابض:

'''ق = ك ت'''، نجد أن:

'''- أ س = ك ت'''، أو:

'''ت = - أ ÷ ك × س ← ت = ∞ - س'''

أي أن تسارع الكتلة يتناسب طرديا مع مقدار الإزاحة، و يعاكسها في الإتجاه، و يسمى هذا النوع من الحركة بالحركة التوافقية البسيطة.

== حركة البندول البسيط ==

يتكون البندول البسيط من كتلة مربوطة بخيط مثبت في حامل أفقي كما في الشكل صورة "البندول البسيط". عند إزاحة الكتلة بزاوية صغيرة (θم) عن الوضع الرأسي و تركها فإنها تتحرك متذبذبة على الجانبين.

عندما تكون الكتلة في أعلى موضع لها عند النقطة (أ)، فإن سرعتها تساوي صفراً و تكون الكتلة تحت تأثير مركبة الوزن (وجاθم) فإنها تعمل على نفس خط قوة الشد في الخيط. و عندما تترك الكتلة فإن الزاوية (θ) تتناقص حتى تصبح صفراً في الوضع الرأسي، ثم تبدأ بالزيادة حتى تصل إلى أكبر قيمة (θم) عند النقطة (ب) في الجهة المقابلة.

و بالتعويض في [[قانون]] [[نيوتن]] الثاني، نجد أن محصلة القوى في اتجاه الحركة هي:

'''Σ ق = ك ت'''، أي أن:

'''وجاθ = - ك ت'''

و حيث إن وزن الكتلة '''و = ك ج'''، ج= تسارع [[جاذبية أرضية|الجاذبية الأرضية]]، فإن:

'''ك جـ جاθ = - ك ت'''، أي أن:

: '''ت = - جـ جاθ'''.

و بما أن ('''θم) زاوية صغيرة (θ < 15)'''، فإن '''جاθ = (طول القوس ÷ نصف القطر) ≈ (س ÷ ل)'''، فإن:

'''ت = -(جـ ÷ ل) × س ← ت = ∞ - س'''

لاحظ هنا أن تسارع البندول يتناسب عكسيا مع الإزاحة، أي أن [[بندول|البندول]] البسيط يتحرك حركة توافقية بسيطة.

BY:anooos alomari

== العلاقة بين الحركة الدائرية و التوافقية البسيطة ==

نفترض أن جسما ما يسير في مسار دائري نصف قطره ('''نق''') و مركزه ('''م''') كما في صورة "الحركة الدائرية"، و أن هذا الجسم بدأ الحركة من النقطة ('''أ''') على محور السينات ماراً بالنقطة ('''هـ''') بعكس إتجاه [[عقارب]] [[ساعة|الساعة]].

إن القوة المؤثرة على الجسم تكون دائماً بإتجاه المركز و لنفرض أن هذه القوى تساوي قم، نحلل هذه القوة إلى مركبتين متعامدتين قص، قس.

من صورة "الحركة الدائرية" يلاحظ أن '''قص = قم جاθ''' و إتجاهها إلى الأسفل، و بما أن:

'''جاθ = ص ÷ س، فإن قص = - قم ص ÷ نق'''. و بقسمة طرفي هذه المعادلة على الكتلة نحصل على:

'''تص = -تم = ص ÷ نق = - (تم ÷ نق) × ص'''، أي أن تسارع الجسم في الإتحاه الصادي يتناسب عكسيا مع الإزاحة، و عليه فإن مسقط حركة الجسم على المحور الصادي هي حركة تواقية بسيطة. و ينطبق الحديث نفسه على مسقط حركة الجسم على المحور السيني، أي أن الحركة في الإتجاه السيني هي أيضاً حركة توافقية يسيطة.

=== السرعة الزاوية ===

عندما يقطع جسم يسير في حركة دائرية منتظمة [[زاوية]] مقدارها ∆θ في زمن مقداره ∆ز، فإنه يقطع قوسا طوله ∆ل، كما يظهر في صورة "سرعة الزاوية". و لحساب مقدار سرعته يتم تقسيم [[طول]] القوس على الفترة الزمنية؛ أي أن:

'''ع = ∆ل ÷ ∆ز = نق ∆θ ÷ ∆ز = نق (∆θ ÷ ∆ز)'''

تعرف السرعة الزاوية ([[ملف:السرعة الزاوية.png]]) بأنها مقدار الزاوية التي يقطعها الجسم أثناء الحركة الدائرية في وحدة الزمن، أي أن:

'''[[ملف:السرعة الزاوية.png]] = ∆θ ÷ ∆ز'''. و بناء على ذلك فإن السرعة الخطية '''ع = نق [[ملف:السرعة الزاوية.png]]'''.

و من المعروف أن التسارع المركزي لجسم في حركة دائرة منتظمة '''تم = ع2 ÷ نق = (نق [[ملف:السرعة الزاوية.png]])2 ÷ نق = نق [[ملف:السرعة الزاوية.png]] 2'''. و من خلال ذلك يمكن كتابة معادلة التسارع للحركة التوافقية البسيطة كالتالي:

'''تص = - (تص ÷ نق) × ص = - [[ملف:السرعة الزاوية.png]] 2 ص'''

و السرعة الزاوية [[ملف:السرعة الزاوية.png]] تساوي حاصل قسمة الزاوية الكلية التي يقطعها الجسم في دورة كاملة و تساوي (π2) على زمن الدورة (ن)، أي أن: '''[[ملف:السرعة الزاوية.png]] = π2 ÷ ن، و منه د (التردد) = 1 ÷ ن = [[ملف:السرعة الزاوية.png]] ÷ π2.'''

=== معادلات الحركة التوافقية البسيطة ===
فكانت نتيجة البند السابق العلاقات التي تربط تسارع [[جسم|الأجسام]] في الحركة التوافقية البسيطة مع الإزاحة، سواء في النابض أو البندول أو الحركة في مسار دائري منظم، فكانت على النحو الآتي:

<table class="wikitable">
<tr>
<td>في النابض</td>
<td>ت = - (أ ÷ ك) × س</td>
<td>أو</td>
<td>ت = - ([[ملف:السرعة الزاوية.png]]2 س)</td>

<tr>
<td>في البندول</td>
<td>ت = - (ج ÷ ل) × س</td>
<td>أو</td>
<td>ت = - ([[ملف:السرعة الزاوية.png]]2 س)</td>
</tr>

<tr>
<td>في الحركة الدائرية</td>
<td>ت = س = - تم ÷ نق × س</td>
<td>أو</td>
<td>تس = - ([[ملف:السرعة الزاوية.png]]2 س) </td>
</tr>
</table>

قيمة الزاوية [[ملف:السرعة الزاوية.png]] تعتمد على:
* ثابت المرونة و كتلة الجسم في النابض.
* تسارع الجاذبية و طول الخيط في البندول.
* تسارع الجسم و نصف قطر المدار في الحركة الدائرية.

في الصورة "مركبات الحركة الدائرية" يكون الجسم في النقطة (هـ) فإنه يقطع المسافة (ص) على المحور الصادي.

و حيث إن ص = نق جاθ، فإن إزاحة الجسم الذي يتحرك حركة توافقية بسيطة تتغير كدالة جيبية بتغير الزاوية θ كما في الصورة. و بما أن الزاوية θ هي الزاوية التي قطعها الجسم في الزمن (ز) فإن '''θ = [[ملف:السرعة الزاوية.png]]ز'''، و بشكل عام يمكن كتابة معادلة الإزاحة في الحركة التوافقية البسيطة:

'''ص(ز) = صم جا([[ملف:السرعة الزاوية.png]]ز + ϕ)'''

حيث:
* '''صم:''' أقصى إزاحة ممكنة للكتلة عن نقطة الإتزان و تساوي نق.
* '''ز:''' الزمن بوحدة [[ثانية|الثانية]].
* '''ϕ:''' زاوية ثابط الطور، وتحدد موضع الجسم عندما يكون الزمن يساوي صفراً، و تحسب من معرفة موضع الجسم و سرعته عند لحظة معينة.

لاحظ من الصورة "الإزاحة في الحركة التوافقية البسيطة" أن صم تمثل سعة الإهتزاز، و تساوي البعدين نقطة الإتزان و أبعد نقطة ممكنة للحركة، و أن [[زمن دوري|الزمن الدوري]] (ن) هو الفترة الزمنية التي تفصل بين مرور الجسم في نقطتين متماثلتين في الطور من حيث:
* الموضع.
* إتجاه الحركة.

=== السرعة في الحركة التوافقية البسيطة ===

في الصورة "السرعة في الحركة الدائرية" يوجد جسم يتحرك حركة دائرية منتظمة بسرعة مقدارها (ع)، وعندما يكون اتجاه (ع) مماساً للدائرة، أي أن (ع) عمودية على نصف قطر الدائرة، و يمكن حساب مركبة السرعة في الاتجاه السيني:

[[ملف:مركبة السرعة في الاتجاه السيني.png]]

'''لاحظ أن جيب الزاوية = جيب تمام الزاوية المتممة'''

'''عس = ع جا([[ملف:السرعة الزاوية.png]]ز)، و حيث أن ع = [[ملف:السرعة الزاوية.png]] نق'''، فإن:

'''عس = [[ملف:السرعة الزاوية.png]] نق جا([[ملف:السرعة الزاوية.png]]ز)'''

و لحساب تسارع الجسم في أي لحظة يتم تعويض المعادلة

'''تس = - [[ملف:السرعة الزاوية.png]]2 سم جا([[ملف:السرعة الزاوية.png]]ز).'''

== [[طاقة|الطاقة]] في الحركة التوافقية البسيطة ==
عندما يتحرك جسم مربوط بنابض على سطح أملس فإنه يمتلك نوعين من الطاقة:
* طاقة حركية، نتيجة سرعته و تعطى بالعلاقة '''طح = (1 ÷ 2) ك ع2'''.
* طاقة وضع مخزنة في النابض، نتيجة إستطالته و تعطى بالعلاقة '''طو = (1 ÷ 2) أ س2'''.

و يسمى مجموع هذين الشكلين من الطاقة بالطاقة الميكانيكية للنظام (طم)؛ أي أن:

'''طم = طو + طح'''
'''طم = (1÷2) أ س2 + (1÷2) ك ع2'''

و بإهمال قوة الإحتكاك و [كتلة] النابض يكون مقدار الطاقة الميكانيكية ثابتاً عند جميع النقاط في مسار الجسم.

و في اللحظة التي يكون فيها الجسم أبعد ما يمكن عن نقطة الاتزان، تكون سرعته تساوي صفراً؛ أي أن:
[[ملف:معادلة لتوضيح اللحظة التي يكون الجسم فيها أبعد ما يمكن عن نقطة الإتزان، حيث تساوي سرعته صفرا.png|300px]]

لاحظ الصورة التي تمثل الطاقة الميكانيكية لكتلة مربوطة في نابض.

== المصادر ==
* David Halliday (2001). Fundamentals of Physics , 6th ed, John Wiley & sons, Inc, New York.
* David Halliday (1997). Fundamentals of Physics: EXTENDED, 5th ed, John Wiley & Sons, Inc, New York.
* Franctis Weston Sears (1960). College Physics: Mechanics, Heat, and Souund, 3th ed, Addison - Wesley Iublishing Company, Inc, London.

{{بوابة فيزياء}}

[[تصنيف:فيزياء]]

حركة توافقية بسيطة - تاريخ المراجعة

WikiSysop: ١ مراجعة: فيزياء

77.31.111.129: /* حركة البندول البسيط */