Abdullah-Safi: أنشأ الصفحة ب''''أوكتونيون''' Octonion في الرياضيات هي امتداد كعملية غير تجميعية لل[[كوا...'

2010-11-18T18:46:19Z

أنشأ الصفحة ب''''أوكتونيون''' Octonion في الرياضيات هي امتداد كعملية غير تجميعية لل[[كوا...'

صفحة جديدة

'''أوكتونيون''' Octonion في [[رياضيات|الرياضيات]] هي امتداد [[عملية تجميعية|كعملية غير تجميعية]] لل[[كواتيرنيون]]. أبعادها الثمانية الحقيقية الجبرية في حقل [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] هو أوسع حقل بعدي من الممكن الحصول عليه باستخدام [[إنشاء كايلي-ديكسون]]. يرمز جبرياً إلى الأوكتونيون بالرمز '''O''' أو بالحرف العريض <math>\mathbb{O}</math>.

ربما بسبب أن الأوكتونيون لاتحقق الخاصة التجميعية لعملية الضرب، فإنها تجذب اهتماماً أقل من ال[[كواتيرنيون]]، ولكن وعلى الرغم من شهرتها الضئيلة هذه فإن الأوكتونيون لها تطبيقات عدة في مجالات [[نظرية الأوتار]]، [[نظرية النسبية الخاصة|النسبية الخاصة]]، [[المنطق الكوانتي]].

== التاريخ ==
تم اكتشاف الأوكتونيون في عام 1843 من قبل العالم جون ت. غرافس، صديق [[وليام روان هاملتون]] مكتشف ال[[كواتيرنيون]].

== التعريف ==
من الممكن اعتبار الأوكتونيون على أنها مجموعات ثمانية (مثل الألحان الثمانية المعد لثماني آلات موسيقية أو مغنينن) من الأعداد الحقيقية. كل أوكتونيون هي [[اندماج خطي]] حقيقي لوحدات الزمرة الثمانية البسيطة {1, ''i'', ''j'', ''k'', ''l'', ''il'', ''jl'', ''kl''}، وعليه فإن أي أوكتونيون ''x'' يكون ممكن الكتابة على الشكل التالي:
:<math>x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl.</math>
ذات مكافئ حقيقي ''x''''a''.

عملية جمع الأوكتونيون تتم بجمع المكافئات المتوافقة، تماماً مثل [[عدد عقدي|الأعداد العقدية]] و[[كواتيرنيون]]. عملية الضرب في الأوكتونيون محددة بشكل كامل [[بجدول الضرب]] التالي:

<table class="wikitable" style="align: center; text-align: right;">
<tr>
<th>1</th>
<th>''i''</th>
<th>''j''</th>
<th>''k''</th>
<th>''l''</th>
<th>''il''</th>
<th>''jl''</th>
<th>''kl''</th>
</tr>
<tr>
<th>''i''</th>
<td>−1</td>
<td>''k''</td>
<td>−''j''</td>
<td>''il''</td>
<td>−''l''</td>
<td>−''kl''</td>
<td>''jl''</td>
</tr>
<tr>
<th>''j''</th>
<td>−''k''</td>
<td>−1</td>
<td>''i''</td>
<td>''jl''</td>
<td>''kl''</td>
<td>−''l''</td>
<td>−''il''</td>
</tr>
<tr>
<th>''k''</th>
<td>''j''</td>
<td>−''i''</td>
<td>−1</td>
<td>''kl''</td>
<td>−''jl''</td>
<td>''il''</td>
<td>−''l''</td>
</tr>
<tr>
<th>''l''</th>
<td>−''il''</td>
<td>−''jl''</td>
<td>−''kl''</td>
<td>−1</td>
<td>''i''</td>
<td>''j''</td>
<td>''k''</td>
</tr>
<tr>
<th>''il''</th>
<td>''l''</td>
<td>−''kl''</td>
<td>''jl''</td>
<td>−''i''</td>
<td>−1</td>
<td>−''k''</td>
<td>''j''</td>
</tr>
<tr>
<th>''jl''</th>
<td>''kl''</td>
<td>''l''</td>
<td>−''il''</td>
<td>−''j''</td>
<td>''k''</td>
<td>−1</td>
<td>−''i''</td>
</tr>
<tr>
<th>''kl''</th>
<td>−''jl''</td>
<td>''il''</td>
<td>''l''</td>
<td>−''k''</td>
<td>−''j''</td>
<td>''i''</td>
<td>−1</td>
</tr>
</table>

=== إنشاء كايلي-ديكسون ===
هناك طريقة أكثر منطقية في تعريف الأوكتونيون باستخدام [[إنشاء كايلي-ديكسون]]. حيث كما أنه من الممكن تعريف ال[[كواتيرنيون]] على أنها زوج من [[عدد عقدي|الأعداد العقدية]]، يمكن تعريف الأوكتونيون على أنها زوج من الكواتيرنيون. حيث يعطى جداء زوجين من الكواتيرنيون (''a'', ''b'') و(''c'', ''d'') على النحو التالي:
:<math>(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})</math>

حيث <math>z^{*}</math> هو نظير الكواتيرنيون ''z''.

=== النظير، الطويلة، المقلوب ===
يعطى نظير الأوكتونيون التالية
:<math>x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl</math>

بالعلاقة:

:<math>x^* = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,l - x_5\,il - x_6\,jl - x_7\,kl.</math>

يعرف الجزء الحقيقي للأوكتونيون ''x'' بالعلاقة:

½''x'' + ''x''*) = ''x''0)

كما يعرف الجزء التخيلي بالعلاقة:

½(''x'' - ''x''*)

تعطى طويلة الأوكتونيون ''x'' بالعلاقة:

:<math>\|x\| = \sqrt{x^{*} x}</math>

يعطى الجذر التربيعي هنا بالعلاقة: <math>x^{*}x=xx^{*}</math> وهو دائماً عدد حقيقي غير سالب:
:<math>\|x\|^2 = x^{*}x = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2</math>
وهذه الطويلة تتوافق مع الطويلة في الفضاء الإقليدي من البعد الثامن '''R'''8.

إن وجود طويلة للأوكتونيون يتطلب وجود مقلوب لكل أوكتونيون غير صفري. حيث يعطى مقلوب ''x'' ≠ 0 بالعلاقة:

:<math>x^{-1} = \frac{x^{*}}{\|x\|^2}</math>
وهي تحقق

<math>xx^{-1}=x^{-1}x=1</math>.

{{بذرة رياضيات}}

{{بوابة رياضيات}}

[[تصنيف:زمر ثمانية]]
[[تصنيف:رياضياتيون]]
[[cs:Oktonion]]
[[de:Oktave (Mathematik)]]
[[en:Octonion]]
[[es:Octonión]]
[[fa:اکتنیون]]
[[fr:Octonion]]
[[he:אוקטוניונים]]
[[it:Ottetto (matematica)]]
[[ja:八元数]]
[[ko:팔원수]]
[[nl:Octonion]]
[[pl:Oktawy Cayleya]]
[[pt:Octoniões]]
[[ru:Алгебра Кэли]]
[[sv:Oktonion]]
[[uk:Октоніон]]
[[zh:八元数]]
[[zh-classical:八元數]]
[[zh-yue:八元數]]

اوكتونيون - تاريخ المراجعة

Abdullah-Safi: أنشأ الصفحة ب''''أوكتونيون''' Octonion في الرياضيات هي امتداد كعملية غير تجميعية لل[[كوا...'